Дөрвөлжин графикийг хэрхэн яаж зурах вэ: 10 алхам (зурагтай)

2024 Зохиолч: Jason Gerald | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2024-02-01 14:14

Графикаар дүрслэхдээ квадрат тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна сүх² + bx + c эсвэл a (x - h)² + к парабола гэж нэрлэгддэг U үсэг эсвэл урвуу U муруй үүсгэнэ. Квадрат тэгшитгэлийг зурахдаа орой, чиглэл, ихэвчлэн x ба y огтлолцлыг хайж олох хэрэгтэй. Нэлээд энгийн квадрат тэгшитгэлийн хувьд x утгуудын олонлогийг оруулж, үр дүнгийн цэг дээр үндэслэн муруй зурах нь хангалттай байж магадгүй юм. Эхлэхийн тулд доорх 1 -р алхамыг үзнэ үү.

Алхам

Алхам 1. Танд байгаа квадрат тэгшитгэлийн хэлбэрийг тодорхойл

Квадрат тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэр, орой хэлбэр, квадрат хэлбэр гэсэн гурван өөр хэлбэрээр бичиж болно. Та квадрат тэгшитгэлийг график болгохын тулд ямар ч хэлбэрийг ашиглаж болно; График бүрийг дүрслэх үйл явц нь арай өөр юм. Хэрэв та гэрийн даалгавар хийж байгаа бол ихэвчлэн эдгээр хоёр хэлбэрийн аль нэгээр нь асуулт хүлээж авах болно, өөрөөр хэлбэл та сонгох боломжгүй тул аль алиныг нь ойлгох нь зүйтэй. Квадрат тэгшитгэлийн хоёр хэлбэр нь:

• Ерөнхий хэлбэр.

  Энэ хэлбэрээр квадрат тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ: f (x) = ax² + bx + c, энд a, b, c нь бодит тоо бөгөөд a нь тэг биш юм.

  Жишээлбэл, ерөнхий хэлбэрийн хоёр квадрат тэгшитгэл нь f (x) = x байна² + 2x + 1 ба f (x) = 9x² + 10х -8.

• Оргил хэлбэр.

  Энэ хэлбэрээр квадрат тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ: f (x) = a (x - h)² + k, a, h, k нь бодит тоо бөгөөд a нь тэг биш юм. H ба k нь таны параболагийн оройг (дунд цэг) (h, k) цэг дээр шууд өгөх тул үүнийг орой хэлбэр гэж нэрлэдэг.

  Оройн хэлбэрийн хоёр тэгшитгэл нь f (x) = 9 (x - 4)² + 18 ба -3 (x - 5)² + 1

• Аливаа төрлийн тэгшитгэлийг график болгохын тулд бид эхлээд параболагийн оройг олох ёстой бөгөөд энэ нь муруйн төгсгөлийн дунд цэг (h, k) юм. Ерөнхий хэлбэрийн оргилуудын координатыг дараах байдлаар тооцоолно: h = -b/2a ба k = f (h), харин оргил хэлбэрээр h ба k тэгшитгэлд байна.

Алхам 2. Хувьсагчаа тодорхойл

Квадрат асуудлыг шийдэхийн тулд ихэвчлэн a, b, c (эсвэл a, h, k) хувьсагчдыг тодорхойлох шаардлагатай байдаг. Алгебрийн ердийн асуудал нь боломжтой хувьсагчтай квадрат тэгшитгэлийг ихэвчлэн ерөнхий хэлбэрээр, гэхдээ заримдаа оргил хэлбэрээр өгөх болно.

• Жишээлбэл, ерөнхий хэлбэрийн тэгшитгэлийн хувьд f (x) = 2x² + 16x + 39, бидэнд a = 2, b = 16, c = 39 байна.
• Оргил хэлбэрийн хувьд f (x) = 4 (x - 5) тэгшитгэл² + 12, бидэнд a = 4, h = 5, k = 12 байна.

Алхам 3. h -ийг тооцоолно уу

Оройн хэлбэрийн тэгшитгэлд таны h утгыг аль хэдийн өгсөн боловч ерөнхий хэлбэрийн тэгшитгэлд h утгыг тооцоолох ёстой. Ерөнхий хэлбэрийн тэгшитгэлийн хувьд h = -b/2a гэдгийг санаарай.

• Манай ерөнхий хэлбэрийн жишээнд (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Шийдсэний дараа бид h = болохыг олж мэдэв - 4.
• Манай орой хэлбэрийн жишээнд (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), ямар ч математикгүйгээр h = 5 гэдгийг бид мэднэ.

Алхам 4. k -ийг тооцоолно уу

H шиг k нь оргил хэлбэрийн тэгшитгэлд аль хэдийн мэдэгдэж байсан. Ерөнхий хэлбэрийн тэгшитгэлийн хувьд k = f (h) гэдгийг санаарай. Өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлдээ байгаа бүх x утгыг дөнгөж олсон h утгуудаар орлуулснаар k -ийг олж болно.

• Бид ерөнхий хэлбэрээрээ h = -4 гэдгийг аль хэдийн тодорхойлсон. K -ийг олохын тулд бид x -ийн оронд h -ийн утгыг залгаж тэгшитгэлээ шийднэ.

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Алхам 7.

• Бидний хамгийн дээд хэлбэрийн жишээнд, бид математик хийхгүйгээр k -ийн үнэ цэнийг (энэ нь 12) мэддэг.

Алхам 5. Оргилоо зур

Таны параболагийн орой нь (h, k)-h цэгийг илэрхийлдэг бол k нь y координатыг илэрхийлдэг. Дээд цэг нь таны параболагийн дунд цэг юм - U -ийн доод хэсэгт эсвэл урвуу U -ийн дээд хэсэгт. Оройнуудыг мэдэх нь нарийн парабола зурах чухал хэсэг бөгөөд ихэвчлэн сургуулийн ажилд оройг тодорхойлох нь асуултанд хариулах шаардлагатай хэсэг юм.

• Бидний ерөнхий хэлбэрийн жишээнд бидний оргил үе (-4, 7) байна. Ийнхүү манай парабола 0 ба 7 алхам (0, 0) -ээс зүүн тийш 4 алхамаар дуусах болно. Бид энэ цэгийг график дээрээ дүрсэлж, координатыг тэмдэглэсэн байх ёстой.
• Бидний орой хэлбэрийн жишээнд бидний орой нь (5, 12) юм. Бид 5 алхам баруун тийш, 12 алхам дээш (0, 0) цэг зурах ёстой.

Алхам 6. Параболагийн тэнхлэгийг зурна уу (заавал биш)

Параболагийн тэгш хэмийн тэнхлэг нь түүний төвийг дайран өнгөрч, яг дунд нь хуваадаг шугам юм. Энэ тэнхлэг дээр параболагийн зүүн тал нь баруун талыг тусгах болно. Сүх хэлбэртэй квадрат тэгшитгэлийн хувьд² + bx + c эсвэл a (x - h)² + k, тэгш хэмийн тэнхлэг нь y тэнхлэгтэй параллель (өөрөөр хэлбэл яг босоо) бөгөөд оройг дайрсан шугам юм.

Манай ерөнхий хэлбэрийн хувьд тэнхлэг нь y тэнхлэгтэй параллель бөгөөд (-4, 7) цэгийг дайрсан шугам юм. Хэдийгээр энэ нь параболагийн нэг хэсэг биш боловч график дээрээ энэ мөрийг нимгэн тэмдэглэвэл эцэст нь параболын муруйн тэгш хэмтэй хэлбэрийг харахад тусална

Алхам 7. Параболийн нээлтийн чиглэлийг ол

Параболагийн оргил ба тэнхлэгийг мэдсэний дараа бид парабола нээгдэж эсвэл доошоо нээгдэж байгааг мэдэх хэрэгтэй. Аз болоход энэ нь амархан. Хэрэв a -ийн утга эерэг байвал парабола дээшээ нээгдэнэ, хэрэв a -ийн утга сөрөг байвал парабола доошоо нээгдэнэ (өөрөөр хэлбэл парабол урвуу болно).

• Бидний ерөнхий хэлбэрийн жишээ (f (x) = 2x² + 16x + 39), бидний тэгшитгэлд a = 2 (эерэг) учир нээгддэг парабола байдгийг бид мэднэ.
• Бидний орой хэлбэрийн жишээний хувьд (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), бидэнд парабол байдаг гэдгийг бид мэднэ, учир нь a = 4 (эерэг).

Алхам 8. Шаардлагатай бол x-хөндлөн огтлолыг олж зур

Ихэнхдээ сургуулийн ажилд та парабол дахь x-огтлолцлыг олохыг хүсдэг (энэ нь парабол нь x тэнхлэгтэй таарч байгаа нэг эсвэл хоёр цэг юм). Хэрэв та нэгийг нь олж чадаагүй ч гэсэн эдгээр хоёр цэг нь нарийн парабола зурахад маш чухал юм. Гэсэн хэдий ч бүх параболууд x-intercept-тэй байдаггүй. Хэрэв таны парабол нь нээгддэг оройтой бөгөөд орой нь x тэнхлэгээс дээш эсвэл доошоо нээгдэж, орой нь x тэнхлэгээс доогуур байвал парабол нь x-огтлох огтлолцолгүй болно. Үгүй бол x хөндлөн огтлолоо дараах аргуудын аль нэгээр шийдээрэй.

• Зүгээр л f (x) = 0 болгож тэгшитгэлийг шийдээрэй. Энэ аргыг энгийн квадрат тэгшитгэлд, ялангуяа оргил хэлбэрээр ашиглаж болох боловч нарийн төвөгтэй тэгшитгэлийн хувьд маш хэцүү байх болно. Жишээг доороос үзнэ үү

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Үндэс (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 ба 13 Энэ нь парабол дахь x-intercept юм.

• Таны тэгшитгэлд нөлөөл. Сүх хэлбэртэй зарим тэгшитгэл² + bx + c -ийг (dx + e) (fx + g) хэлбэрт амархан оруулж болно, энд dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx ба e × g = c. Энэ тохиолдолд таны x таслалтууд нь x утгууд бөгөөд ямар ч нэр томъёог хаалтанд оруулна = 0. Жишээлбэл:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Энэ тохиолдолд таны цорын ганц x -хөндлөн огтлол -1 болно, учир нь x -ийг тэнцүү -1 болгох нь хаалтанд байгаа аливаа хүчин зүйлийн нэр томъёог 0 -тэй тэнцүү болгоно.

• Квадрат томъёог ашиглана уу. Хэрэв та x-хөндлөн огтлолоо хялбархан шийдэж чадахгүй эсвэл тэгшитгэлээ тодорхойлж чадахгүй бол энэ зорилгоор бүтээсэн квадрат томъёо гэж нэрлэгддэг тусгай тэгшитгэлийг ашиглаарай. Хэрэв энэ нь шийдэгдээгүй байгаа бол тэгшитгэлээ ax хэлбэрт хөрвүүл² + bx + c, дараа нь a, b, c-ийг x = (-b +/- sqrt (b) томъёонд оруулна уу.² - 4ac))/2a. Энэ арга нь ихэвчлэн x-ийн утгад хоёр хариулт өгдөг гэдгийг анхаарна уу, энэ нь зүгээр л таны параболанд хоёр x таслалтай гэсэн үг юм. Доорх жишээг үзнэ үү.

  • -5х² + 1x + 10 -ийг квадрат томъёонд дараах байдлаар оруулна.
  • x = (-1 +/- Үндэс (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- Үндэс (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- Үндэс (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) ба (-15, 18/-10). Парабол дахь x-огтлол нь x = байна - 1, 318 ба 1, 518
  • Ерөнхий хэлбэрийн өмнөх жишээ бол 2х² +16x+39 -ийг квадрат томъёонд дараах байдлаар оруулна.
  • x = (-16 +/- Үндэс (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- Үндэс (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- Үндэс (-56)/-10
  • Сөрөг тооны квадрат язгуурыг олох боломжгүй тул энэ парабола гэдгийг бид мэднэ x-intercept байхгүй байна.

Алхам 9. Шаардлагатай бол y-огтлолцлыг олж зур

Тэгшитгэлээс y-огтлолцлыг хайх шаардлагагүй байдаг (парабол нь y тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх цэг), гэхдээ та сургуульд сурч байгаа бол үүнийг олох хэрэгтэй болж магадгүй юм. Процесс нь маш энгийн-x = 0 болгож, f (x) эсвэл y гэсэн тэгшитгэлээ шийдээрэй. X-intercept-ээс ялгаатай нь ердийн парабол нь зөвхөн нэг y-intercept-тэй байж болно. Тэмдэглэл-ерөнхий хэлбэрийн тэгшитгэлийн хувьд y-хөндлөн огтлол нь y = c байна.

• Жишээлбэл, бидний квадрат тэгшитгэл 2х гэдгийг бид мэднэ² + 16x + 39 нь y = 39 үед y-таслалтай боловч үүнийг дараах байдлаар олж болно.

  • f (x) = 2x² +16x+39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Параболагийн y-огтлолцол нь at y = 39.

    Дээр дурдсанчлан y-огтлол нь y = c байна.

• Манай оройн тэгшитгэлийн хэлбэр нь 4 (x - 5)² + 12 нь y-таслалтай бөгөөд үүнийг дараах байдлаар олж болно.

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Параболагийн y-огтлолцол нь at байна y = 112.

Алхам 10. Шаардлагатай бол нэмэлт цэг зурж, дараа нь график зур

Одоо та тэгшитгэлдээ орой, чиглэл, x-огтлол, магадгүй y-огтлолцол байна. Энэ үе шатанд та гарын авлага болгон авсан оноо ашиглан параболаа зурахыг оролдож болно, эсвэл зурах муруйгаа илүү нарийвчлалтай болгохын тулд параболаа бөглөх өөр цэгүүдийг хайж олох боломжтой. Үүнийг хийх хамгийн хялбар арга бол оройн аль ч талд хэдэн x утгыг оруулаад дараа нь авсан y-утгыг ашиглан эдгээр цэгүүдийг зурах явдал юм. Ихэнх тохиолдолд багш нар параболаа зурахаасаа өмнө хэд хэдэн зүйлийг хайж олохыг танаас хүсдэг.

• X тэгшитгэлийг авч үзье² + 2x + 1. x -хөндлөн огтлол нь зөвхөн x = -1 байна гэдгийг бид аль хэдийн мэддэг болсон. Муруй нь зөвхөн нэг цэг дээр x-хөндлөн огтлолцолд хүрч байгаа тул орой нь түүний x-огтлолцол гэж дүгнэж болох бөгөөд энэ нь орой нь (-1, 0) байна гэсэн үг юм. Бидэнд энэ параболагийн ганцхан оноо байгаа нь сайн парабола зурахад хангалтгүй юм. Нарийвчилсан график зурахдаа өөр хэдэн зүйлийг хайж үзье.

  • Дараах x утгуудын y утгыг олъё: 0, 1, -2, ба -3.
  • 0 -ийн хувьд: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Бидний хэлэх зүйл бол (0, 1).

  • 1 -ийн хувьд: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Бидний хэлэх зүйл бол (1, 4).

  • -2 -ийн хувьд: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Бидний хэлэх зүйл бол (-2, 1).

  • -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Бидний хэлэх зүйл бол (-3, 4).

  • Эдгээр цэгүүдийг график дээр зурж, U хэлбэрийн муруйгаа зур. Парабол нь төгс тэгш хэмтэй болохыг анхаарна уу - параболагийн нэг талын цэгүүд нь бүхэл тоо байх үед та параболагийн тэгш хэмийн тэнхлэгт өгөгдсөн цэгийг тусгах ажлыг багасгаж, нөгөө талдаа ижил цэгийг олох боломжтой..

Зөвлөмж

• Алгебрийн багшийн хүсэлтийн дагуу тоонуудыг дугуйруулж эсвэл бутархайг ашиглана уу. Энэ нь квадрат тэгшитгэлийг илүү сайн график болгоход тусална.
• F (x) = ax -т байгааг анхаарна уу² + bx + c, хэрэв b эсвэл c нь тэгтэй тэнцүү бол эдгээр тоонууд алга болно. Жишээлбэл, 12х² + 0x + 6 нь 12x болно² 0 нь 0 бол + 6.