Гурвалсан байдлыг тодорхойлох 3 арга

2024 Зохиолч: Jason Gerald | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2024-01-15 08:20

Триноми бол гурван нэр томъёоноос бүрдэх алгебрийн илэрхийлэл юм. Магадгүй та квадрат гурвалсан гурвалжинг хэрхэн яаж тооцоолох талаар сурч эхлэх болно.² + bx + c. Сурах хэд хэдэн заль мэх байдаг бөгөөд үүнийг олон төрлийн квадрат гурвалжинд ашиглаж болох боловч та дадлага хийснээр илүү сайн, хурдан ашиглах боломжтой болно. Дээд эрэмбэтэй олон гишүүнт, x гэх мэт нэр томъёо³ эсвэл x⁴, үргэлж ижил аргаар шийдэж болохгүй, гэхдээ та энгийн факторинг эсвэл орлуулалтыг ашиглан бусад квадрат томъёоны нэгэн адил шийдэж болох асуудал болгон хувиргаж болно.

Алхам

3 -ийн 1 -р арга: Факторинг x² + bx + c

Алхам 1. PLDT -ийн үржүүлгийг сур

Та (x+2) (x+4) гэх мэт илэрхийллийг үржүүлэхийн тулд PLDT эсвэл "Эхлээд, Гадна, Дотор, Сүүлд" хэрхэн үржүүлж сурсан байж магадгүй юм. Энэ үржүүлэх нь хэрхэн нөлөөлж байгааг мэдэх нь ашигтай байдаг.

• Овог аймгуудыг үржүүлэх Эхлээд: (x+2)(x+4) = x² + _

• Овог аймгуудыг үржүүлэх Гадна: (x+2) (x+

  Алхам 4.) = x²+ 4х + _

• Овог аймгуудыг үржүүлэх Онд: (x+

  Алхам 2.)(x+4) = x²+4x+ 2х + _

• Овог аймгуудыг үржүүлэх Төгсгөл: (x+

  Алхам 2.) (x

  Алхам 4.) = x²+4x+2x

  Алхам 8.

• Хялбарчлах: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

Алхам 2. Факторингыг ойлгох

PLDT аргыг ашиглан хоёр binomial -ийг үржүүлэхэд та x x хэлбэрээр гурвалсан (гурван нэр томъёо бүхий илэрхийлэл) авах болно.²+ b x+ c, энд a, b, c нь энгийн тоо юм. Хэрэв та ижил хэлбэртэй тэгшитгэлээр эхэлбэл үүнийг хоёр бином болгон хувааж болно.

• Хэрэв тэгшитгэлийг энэ дарааллаар бичээгүй бол тэгшитгэлийг ийм дарааллаар байрлуул. Жишээлбэл, дахин бичих 3x - 10 + x² Болдог x² + 3x - 10.
• Учир нь хамгийн их хүч нь 2 (x², энэ төрлийн илэрхийллийг квадрат гэж нэрлэдэг.

Алхам 3. PLDT -ийн үржүүлгийн хэлбэрээр хариултанд хоосон зай үлдээгээрэй

Одоохондоо бичээрэй (_ _)(_ _) Та хариултаа хаана бичих вэ. Үүн дээр ажиллаж байхдаа бид бөглөх болно

Зөв тэмдгийг хараахан мэдэхгүй байгаа тул хоосон нэр томъёоны хооронд + эсвэл - гэж битгий бичээрэй

Алхам 4. Эхний нэр томъёог бөглөнө үү

Энгийн асуудлын хувьд таны гурвалсан хугацааны эхний нэр томъёо нь зөвхөн x болно², Эхний байрлал дахь нэр томъёо үргэлж байдаг x ба x. Эдгээр нь x гэсэн нэр томъёоны хүчин зүйлүүд юм² Учир нь x удаа x = x².

• Бидний жишээ x² + 3x - 10 x -ээр эхэлнэ²Тиймээс бид бичиж болно:
• (x _) (x _)
• Дараагийн хэсэгт бид 6x гэх мэт нэр томъёогоор эхэлсэн триномиалуудыг багтаасан илүү төвөгтэй асуудлууд дээр ажиллах болно² эсвэл -x². Энэ хооронд эдгээр асуултын жишээг дагана уу.

Алхам 5. Сүүлийн нэр томъёог таахын тулд факторинг ашиглана уу

Хэрэв та буцаж очоод PLDT -ийг хэрхэн үржүүлэх алхамыг уншвал сүүлчийн нэр томъёог үржүүлэх нь олон гишүүнт дэх сүүлийн гишүүнийг (x -тэй биш нэр томъёо) гаргах болно. Тиймээс хүчин зүйл болгохын тулд бид хоёр тоог олох ёстой бөгөөд эдгээрийг үржүүлэхэд сүүлийн гишүүн гарч ирэх болно.

• Бидний жишээнд x² + 3x - 10, сүүлийн хугацаа нь -10 байна.
• -10 -ийн хүчин зүйлүүд юу вэ? Ямар тоог -10 -аар үржүүлэх вэ?
• Хэд хэдэн боломжууд байдаг: -1 удаа 10, 1 удаа -10, -2 удаа 5, эсвэл 2 удаа -5. Эдгээр хосуудыг санаж байхын тулд хаа нэг газар бич.
• Бидний хариултыг хараахан өөрчилж болохгүй. Бидний хариулт иймэрхүү хэвээр байх ёстой. (x _) (x _).

Алхам 6. Гадна болон Дотоод бүтээгдэхүүнтэй тохирч байгаа боломжуудыг туршиж үзээрэй

Бид сүүлчийн нөхцлийг цөөн хэдэн боломжоор багасгасан. Туршилтын системийг ашиглан бүх боломжуудыг туршиж үзээрэй, гадаад ба дотоод нэр томъёог үржүүлж, бүтээгдэхүүнийг манай гурвалсантай харьцуулж үзээрэй. Жишээлбэл:

• Бидний анхны асуудалд "x" гэсэн нэр томъёо 3х хэмжээтэй байсан тул бидний туршилтын үр дүн энэ хугацаатай тохирч байх ёстой.
• Туршилт -1 ба 10: (x -1) (x+10). Гадна + Дотор = 10х - х = 9х. Буруу.
• 1 ба -10 тестүүд: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. Энэ бол буруу. Үнэн хэрэгтээ хэрэв та -1 ба 10 -ийг туршиж үзвэл 1 ба -10 нь дээрх хариултын эсрэг байна: 9х биш -9х.
• Туршилт -2 ба 5: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. Үр дүн нь анхны олон гишүүнтэй тохирч байгаа тул зөв хариулт энд байна. (x-2) (x+5).
• Ийм энгийн тохиолдолд, хэрэв танд x нэр томъёоны урд тогтмол байхгүй бол², та хурдан аргыг ашиглаж болно: хоёр хүчин зүйлийг нэмээд ард нь "x" тэмдэг тавь (-2+5 → 3x). Гэсэн хэдий ч, энэ арга нь илүү төвөгтэй асуудлуудад ажиллахгүй тул дээр дурдсан "урт замыг" санах нь дээр.

3 -ийн 2 -р арга: Илүү төвөгтэй гурвалсан гурвыг факторинг хийх

Алхам 1. Илүү төвөгтэй асуудлыг хялбарчлахын тулд энгийн факторинг ашигла

Жишээлбэл, та хүчин зүйл хийх хэрэгтэй 3х² + 9х30. Гурван нэр томъёог ("хамгийн том нийтлэг хүчин зүйл" эсвэл GCF) нөлөөлж чадах тоог олоорой. Энэ тохиолдолд GCF нь 3 байна.

• 3х² = (3) (x²)
• 9х = (3) (3x)
• -30 = (3)(-10)
• Тиймээс 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+3x-10). Дээрх хэсгийн алхамуудыг ашиглан бид шинэ гурвалсан байдлыг тодорхойлох боломжтой. Бидний эцсийн хариулт ийм байх болно (3) (x-2) (x+5).

Алхам 2. Илүү төвөгтэй хүчин зүйлсийг хайж олох

Заримдаа факторинг нь хувьсагчтай байж болно, эсвэл хамгийн энгийн илэрхийллийг олохын тулд хэд хэдэн удаа хүчин зүйл хийх шаардлагатай болдог. Энд хэдэн жишээ байна:

• 2х²y + 14xy + 24y = (2 жил)(x² + 7x + 12)
• x⁴ + 11х³ - 26x² = (x²)(x² +11x - 26)
• -x² + 6x - 9 = (-1)(x² - 6x + 9)
• Арга 1 дэх алхмуудыг ашиглан шинэ гурвалсан хэсгийг дахин засварлахаа бүү мартаарай. Ажлаа шалгаж, энэ хуудасны доод хэсэгт байгаа жишээ асуултуудаас ижил төстэй асуудлын жишээг хайж олоорой.

Алхам 3. x -ийн урд байгаа тоогоор асуудлыг шийдээрэй².

Зарим квадрат гурвалсан гурвалсан асуудлыг хамгийн хялбар хэлбэр болгон бууруулах боломжгүй юм. 3x гэх мэт асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах² + 10x + 8, дараа нь энэ хуудасны доод хэсэгт байгаа асуултуудын жишээг ашиглан бие даан дасгал хий.

• Бидний хариултыг дараах байдлаар тохируулаарай. (_ _)(_ _)
• Манай "Эхний" нэр томъёо тус бүр нэг x -тэй байх бөгөөд тэдгээрийг үржүүлэх нь 3х -ыг өгнө². Ганц боломж бий: (3x _) (x _).
• 8 -ийн хүчин зүйлсийг жагсааж бичнэ үү.
• Энэ боломжийг гадаад ба дотоод нэр томъёог ашиглан туршиж үзээрэй. Гадаад нэр томъёог x -ийн оронд 3 -аар үржүүлж байгаа тул хүчин зүйлсийн дараалал маш чухал болохыг анхаарна уу. Гарах+In = 10x хүртэл гарах бүх боломжийг туршиж үзээрэй (анхны асуудлаас):
• (3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x үгүй
• (3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x үгүй
• (3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x үгүй
• (3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x тийм ээ. Энэ бол зөв хүчин зүйл юм.

Алхам 4. Дээд зэрэглэлийн гурвалсан хэсгүүдийг орлуулах аргыг ашигла

Таны математикийн ном x гэх мэт өндөр хүчирхэг тэгшитгэлээр таныг гайхшруулж магадгүй юм⁴, асуудлыг хөнгөвчлөхийн тулд энгийн факторинг хэрэглэсний дараа ч гэсэн. Үүнийг хэрхэн шийдэхээ мэддэг асуудал болгон хувиргадаг шинэ хувьсагчийг орлуулж үзээрэй. Жишээлбэл:

• x⁵+13х³+36x
• = (x) (x⁴+13х²+36)
• Шинэ хувьсагч үүсгэцгээе. Y = x гэж бодъё² ба үүнд оруулна уу:
• (x) (y²+13y+36)
• = (x) (y+9) (y+4). Одоо үүнийг анхны хувьсагч руу буцаана уу.
• = (x) (x²+9) (x²+4)
• = (x) (x ± 3) (x ± 2)

3 -ийн 3 -р арга: Онцгой тохиолдлуудыг факторинг хийх

Алхам 1. Анхны тоонуудыг олоорой

Гурвалсан хугацааны эхний эсвэл гурав дахь гишүүний тогтмол нь анхны тоо мөн эсэхийг олж мэдээрэй. Анхны тоо нь зөвхөн өөрөө хуваагддаг ба 1 тул хоёр боломжит хос хүчин зүйл л байдаг.

• Жишээлбэл, x дээр² + 6x + 5, 5 бол анхны тоо тул бином нь (_ 5) (_ 1) хэлбэртэй байх ёстой.
• 3x -ийн асуудалд²+10x+8, 3 бол анхны тоо тул бином нь (3x _) (x _) хэлбэртэй байх ёстой.
• 3х асуултанд²+4x+1, 3 ба 1 хоёулаа анхны тоо тул цорын ганц шийдэл бол (3x+1) (x+1) юм. (Та хариултаа шалгахын тулд энэ тоог үржүүлэх хэрэгтэй, учир нь зарим илэрхийлэлийг огт баримтжуулах боломжгүй байдаг, жишээ нь 3х²+100x+1 нь ямар ч хүчин зүйлгүй.)

Алхам 2. Гурвалсан тал нь төгс дөрвөлжин эсэхийг олж мэдээрэй

Төгс дөрвөлжин гурвалжныг хоёр ижил биномд хувааж болох бөгөөд коэффициентийг ихэвчлэн (x+1) гэж бичдэг.² (x+1) (x+1) биш. Асуултанд гарч ирэх хандлагатай зарим жишээг энд харуулав.

• x²+2x+1 = (x+1)², ба x²-2x+1 = (x-1)²
• x²+4x+4 = (x+2)², ба x²-4x+4 = (x-2)²
• x²+6x+9 = (x+3)², ба x²-6x+9 = (x-3)²
• A x хэлбэртэй төгс дөрвөлжин гурвалжин² + bx + c нь үргэлж a ба c нэр томъёог эерэг төгс квадратууд (1, 4, 9, 16, 25 гэх мэт), 2 (√a * √c) -тай тэнцүү нэг b (эерэг эсвэл сөрөг) гишүүнтэй байдаг..

Алхам 3. Асуудлын шийдэл байхгүй эсэхийг олж мэдэх

Гурван гурвалсан бүхнийг тоолдог байж болохгүй. Хэрэв та квадрат гурвалжин (сүх²+bx+c), хариултыг олохын тулд квадрат томъёог ашиглана уу. Хэрэв цорын ганц хариулт нь сөрөг тооны квадрат язгуур бол бодит тооны шийдэл байхгүй бол асуудал ямар ч хүчин зүйлгүй болно.

Дөрвөлжин бус гурвалжингийн хувьд Зөвлөмж хэсэгт тайлбарласан Эйзенштейн шалгуурыг ашиглана уу

Хариулт ба жишээ асуултууд

1. "Нарийн төвөгтэй факторинг" гэсэн асуултын хариулт.

   Эдгээр нь "илүү төвөгтэй хүчин зүйлүүд" алхамаас авсан асуултууд юм. Бид асуудлыг хялбар болгож хялбаршуулсан тул 1 -р аргын алхамуудыг ашиглан тэдгээрийг шийдвэрлэхийг оролдож, эндээс өөрийн ажлыг шалгаарай.

   • (2 жил) (x² + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
   • (x²) (x² + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
   • (-1) (x² -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²

2. Факторинг хийх илүү төвөгтэй асуудлыг туршиж үзээрэй.

   Эдгээр асуудлууд нь нэр томъёо бүрт ижил хүчин зүйлтэй байдаг бөгөөд үүнийг эхлээд анхаарч үзэх хэрэгтэй. Тэнцүү гэсэн тэмдгийн дараа хоосон зайг хааж хариултаа харахын тулд ажлаа шалгаж болно.

   • 3х³+3х²-6x = (3x) (x+2) (x-1) хариултыг харахын тулд хоосон зайг хаах хэрэгтэй
   • -5х³y²+30х²y²-25y²x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)

3. Асуулт ашиглан дасгал хийх. Эдгээр асуудлыг хялбар тэгшитгэлд оруулах боломжгүй тул та туршилт, алдааг ашиглан хариултыг (_x + _) (_ x + _) хэлбэрээр олох хэрэгтэй болно.

   • 2х²+3x-5 = (2x+5) (x-1) блокоор хариултыг үзээрэй
   • 9х²+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)² (Зөвлөгөө: Та 9x -ийн хувьд нэгээс олон хүчин зүйлийн хосыг туршиж үзэхийг хүсч болно.)

   Зөвлөмж

   • Хэрэв та квадрат гурвалсан гурвалжин (сүх²+bx+c), та x -ийг олохын тулд квадрат томъёог ашиглаж болно.

   • Үүнийг яаж хийхээ мэдэх шаардлагагүй ч гэсэн олон гишүүнтийг хялбарчлах, задлах боломжгүй эсэхийг Эйзенштейн шалгуураар хурдан тодорхойлох боломжтой. Энэ шалгуур нь олон гишүүнтэд хамаатай боловч гурвалсан гишүүдэд хамгийн сайн хэрэглэгддэг. Хэрэв сүүлийн хоёр нэр томъёог жигд хувааж, дараах нөхцлийг хангасан p тооны анхны тоо байгаа бол олон гишүүнтийг хялбарчлах боломжгүй юм.

     • Тогтмол нэр томъёо (хувьсагчгүй) нь p -ийн үржвэр боловч p -ийн үржвэр биш юм².
     • Угтвар (жишээлбэл, сүх²+bx+c) нь p -ийн үржвэр биш юм.
     • Жишээлбэл, 14х² +45x +51 -ийг хялбарчлах боломжгүй, учир нь 45 ба 51 -т хувааж болох боловч 14 -т хуваагдахгүй, 51 -ийг 3 -т хуваахгүй анхны тоо (3) байдаг.².

   Анхааруулга

   Хэдийгээр энэ нь квадрат гурвалсан гурвалжингийн хувьд үнэн боловч гурвалжинг тооцоолох нь хоёр биномын бүтээгдэхүүн биш юм. Жишээлбэл, x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).