Үндэс хэлбэр нь квадрат язгуур (эсвэл куб эсвэл түүнээс дээш) тэмдгийг агуулсан алгебрийн мэдэгдэл юм. Энэ маягт нь анх харахад өөр өөр харагдах боловч ижил утгатай хоёр тоог илэрхийлж болно (жишээлбэл, 1/(sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). Тиймээс ийм хэлбэрийн "стандарт томъёо" хэрэгтэй байна. Хэрэв стандарт томъёонд хоёулаа ялгаатай харагдаж байгаа хоёр мэдэгдэл байвал тэдгээр нь ижил биш юм. Математикчид квадрат хэлбэрийн стандарт томъёо нь дараахь шаардлагыг хангасан гэдэгтэй санал нэг байна.
- Бутархайг ашиглахаас зайлсхий
- Бутархай хүчийг бүү ашигла
- Хуваалцахдаа эх хэлбэрийг ашиглахаас зайлсхий
- Хоёр үндсэн хэлбэрийг үржүүлэхийг агуулаагүй болно
- Үндэс дор байгаа тоонуудыг цаашид үндэслэх боломжгүй
Үүний нэг практик хэрэглээ бол олон сонголттой шалгалт юм. Хэрэв та хариултыг олсон боловч таны хариулт байгаа хувилбаруудтай ижил биш байвал үүнийг энгийн томъёогоор хялбарчлахыг хичээгээрэй. Асуулт гаргагчид ихэвчлэн стандарт томъёогоор хариулт бичдэг тул хариултуудтайгаа ижилхэн хариулаарай. Эссэ бичих асуултад "хариултаа хялбарчлах" эсвэл "бүх үндсийг хялбарчлах" гэх мэт тушаалууд нь оюутнууд дээр дурдсан стандарт томъёог биелүүлэх хүртэл дараах алхмуудыг хийх ёстой гэсэн үг юм. Энэ алхамыг тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болох боловч зарим төрлийн тэгшитгэлийг стандарт бус томъёогоор шийдвэрлэх нь илүү хялбар байдаг.
Алхам
Алхам 1. Шаардлагатай бол энэ процесст бидэнд хэрэгтэй байгаа тул үндэс болон экспонентын үйл ажиллагааны дүрмийг (хоёулаа тэнцүү - үндэс нь бутархай эрх мэдэл) хянаж үзээрэй
Мөн олон гишүүнт, оновчтой хэлбэрийг хялбарчлах дүрмийг хянаж үзээрэй.
6 -ийн 1 -р арга: Төгс квадратууд
Алхам 1. Төгс квадрат агуулсан бүх үндсийг хялбарчлах
Төгс квадрат гэдэг нь дангаараа гарсан тоонуудын үржвэр юм, жишээ нь 81, 9 х 9 -ийн үржвэр. Төгс квадратыг хялбарчлахын тулд квадрат язгуурыг устгаад тооны квадрат язгуурыг бичээд үз.
- Жишээлбэл, 121 нь төгс квадрат юм, учир нь 11 x 11 нь 121 -тэй тэнцүү юм. Тиймээс та root тэмдгийг арилгах замаар (121) язгуурыг 11 болгож хялбарчилж болно.
- Энэ алхамыг хялбарчлахын тулд та эхний арван хоёр төгс квадратыг санах хэрэгтэй: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Алхам 2. Төгс шоо агуулсан бүх үндсийг хялбарчлах
Төгс шоо гэдэг нь тоог хоёр дахин үржүүлсний үр дүн юм, жишээ нь 27 нь 3 x 3 x 3 -ийн үржвэр юм. Төгс кубын язгуур хэлбэрийг хялбарчлахын тулд квадрат язгуурыг устгаад дөрвөлжин язгуурыг бичээрэй. тооны тухай.
Жишээлбэл, 343 бол 7 x 7 x 7 -ийн үржвэр учраас төгс куб юм. Тиймээс 343 -ийн куб язгуур нь 7 байна
6 -ийн 2 -р арга: Бутархайг үндэс болгон хөрвүүлэх
Эсвэл өөрөөр өөрчлөх (энэ нь заримдаа тусалдаг), гэхдээ тэдгээрийг root (5) + 5^(3/2) гэсэн үгтэй хольж болохгүй. Бид таныг root хэлбэрийг ашиглахыг хүсч байна гэж үзээд квадрат язгуурт root (n), куб язгуурт sqrt^3 (n) тэмдгийг ашиглах болно.
Алхам 1. Бутархууны хүчийг авч нэгийг нь эх хэлбэрт хөрвүүлэх, жишээлбэл x^(a/b) = root -ийг x^a -ийн хүч рүү хөрвүүлэх
Хэрэв квадрат язгуур нь бутархай хэлбэртэй бол түүнийг энгийн хэлбэрт хөрвүүл. Жишээлбэл, квадрат язгуур (2/3) 4 = root (4)^3 = 2^3 = 8
Алхам 2. Сөрөг экспонентуудыг бутархай болгон хөрвүүлэх, жишээлбэл x^-y = 1/x^y
Энэ томъёо нь зөвхөн тогтмол, оновчтой үзүүлэгчдэд хамаарна. Хэрэв та 2^x шиг маягттай харьцаж байгаа бол асуудал нь x нь бутархай эсвэл сөрөг тоо байж болохыг харуулж байгаа ч гэсэн үүнийг бүү өөрчил
Алхам 3. Ижил овог аймгийг нэгтгэх мөн үүссэн оновчтой хэлбэрийг хялбаршуулах.
6 -ийн 3 -р арга: Үндэс дэх фракцийг устгах
Стандарт томъёо нь root нь бүхэл тоо байхыг шаарддаг.
Алхам 1. Хэрэв бутархай хэвээр байгаа бол квадрат язгуурын доор байгаа тоог харна уу
Хэрэв хэвээр байвал…
Алхам 2. Ident root (a/b) = sqrt (a)/sqrt (b) ашиглан хоёр үндэсээс бүрдэх бутархай болгон өөрчилнө үү
Хэрэв хуваагч нь сөрөг байвал, эсвэл сөрөг байж болох хувьсагч байвал энэ таних тэмдгийг бүү ашигла. Энэ тохиолдолд эхлээд бутархайг хялбарчлах хэрэгтэй
Алхам 3. Үр дүнгийн төгс квадрат бүрийг хялбарчлах
Өөрөөр хэлбэл sqrt (5/4) -ийг sqrt (5)/sqrt (4) болгон хөрвүүлээд дараа нь sqrt (5)/2 болгон хялбарчилна уу.
Алхам 4. Нарийн төвөгтэй бутархайг хялбарчлах, тэнцүү гишүүдийг нэгтгэх гэх мэт хялбаршуулах бусад аргыг ашигла
6 -ийн 4 -р арга: Үржүүлэх үндсийг нэгтгэх
Алхам 1. Хэрэв та нэг язгуур хэлбэрийг нөгөөгөөр үржүүлж байгаа бол дараах хоёр томъёог ашиглан нэг квадрат язгуурт нэгтгээрэй
sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab). Жишээлбэл root (2)*root (6) -г root (12) болгон өөрчил.
- Дээрх таних тэмдэг, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab), хэрэв sqrt тэмдгийн доорх тоо сөрөг биш байвал хүчинтэй байна. A ба b сөрөг байх үед энэ томъёог бүү ашигла, учир нь та sqrt (-1)*sqrt (-1) = sqrt (1) болгоход алдаа гаргах болно. Зүүн талд байгаа мэдэгдэл нь -1 -тэй тэнцүү (эсвэл хэрэв та нарийн төвөгтэй тоо ашигладаггүй бол тодорхойгүй), харин баруун талд байгаа мэдэгдэл нь +1 байна. Хэрэв a ба/эсвэл b сөрөг байвал эхлээд sqrt (-5) = i*sqrt (5) гэх мэт тэмдгийг "өөрчил". Хэрэв язгуур тэмдгийн доорх хэлбэр нь контекстээс үл мэдэгдэх эсвэл эерэг эсвэл сөрөг байж болох хувьсагч бол түүнийг одоо байгаа байдлаар нь үлдээгээрэй. Та a, b бүх бодит тоонд хамаарах sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (sgn (a))*sqrt (sgn (b))*sqrt (| ab |) гэсэн ерөнхий таних тэмдгийг ашиглаж болно. Гэхдээ ихэвчлэн энэ томъёо нь тийм ч их тус болдоггүй, учир нь энэ нь sgn (signum) функцийг ашиглахад нарийн төвөгтэй байдлыг нэмж өгдөг.
- Энэ таних тэмдэг нь зөвхөн үндэс хэлбэрүүд нь ижил экспоненттэй байвал хүчин төгөлдөр болно. Та sqrt (5)*sqrt^3 (7) гэх мэт өөр өөр квадрат үндсийг нэг квадрат язгуур болгон хөрвүүлснээр үржүүлж болно. Үүнийг хийхийн тулд квадрат язгуурыг хэсэг болгон хөрвүүлээрэй: sqrt (5) * sqrt^3 (7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). Дараа нь үржүүлэх дүрмийг ашиглан хоёуланг нь 6125 -ийн квадрат язгуур болгон үржүүлэх хэрэгтэй.
6 -ийн 5 -р арга: Дөрвөлжин хүчин зүйлийг үндэснээс нь зайлуулах
Алхам 1. Төгс бус үндсийг үндсэн хүчин зүйл болгон хуваах
Фактор гэдэг нь өөр тоогоор үржүүлэхэд тоо үүсгэдэг тоо юм. Жишээлбэл, 5 ба 4 нь 20 -ийн хоёр хүчин зүйл юм. тоо хэтэрхий том байна) төгс квадрат олох хүртэл.
Жишээлбэл, 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45 гэсэн бүх хүчин зүйлийг олохыг хичээ. 9 x 5 = 45
Алхам 2. Квадрат язгуур дотроос төгс квадратууд болох бүх үржүүлэгчдийг устга
9 бол 3 x 3 -ийн үржвэр учраас төгс дөрвөлжин юм. 9 -ийг квадрат язгуураас нь аваад квадрат язгуурын урд 3 -аар сольж 5 -ыг квадрат язгуур дотор үлдээгээрэй. Хэрэв та 3 -ыг квадрат язгуурт "буцааж" оруулбал өөрөө үржүүлээд 9 болгож, 5 -аар үржүүлэхэд 45 -ыг буцаана. 5 -ийн 3 үндэс нь 45 -ийн язгуурыг илэрхийлэх энгийн арга юм.
Энэ бол sqrt (45) = sqrt (9*5) = sqrt (9)*sqrt (5) = 3*sqrt (5) юм
Алхам 3. Хувьсагчийн төгс квадратыг олоорой
Квадратын квадрат язгуур нь | a |. Хэрэв мэдэгдэж буй хувьсагч эерэг байвал та үүнийг "а" болгон хялбарчилж болно. A -ийн квадрат язгуурыг квадрат үржвэрийн квадрат язгуур болгон задлахад 3 -ын хүчийг авна a - бид хоёр тоог a -ийн хүчээр үржүүлэхэд экспонентууд нийлдэг болохыг санаарай. гурав дахь хүч.
Тиймээс куб хэлбэрийн төгс дөрвөлжин бол квадрат юм
Алхам 4. Төгс квадрат агуулсан хувьсагчийг квадрат язгуураас хасна уу
Одоо квадрат язгуураас квадрат аваад түүнийгээ | a | болгож өөрчил. A -ийн язгуурын 3 хүртэлх хүч чадлын энгийн хэлбэр нь | a | юм үндэс a.
Алхам 5. Тэнцүү нэр томъёог нэгтгэж, тооцооллын үр дүнгийн бүх үндсийг хялбарчил
6 -ийн 6 -р арга: Хуваалтыг оновчтой болгох
Алхам 1. Стандарт томъёо нь хуваагчийг аль болох бүхэл тоо (эсвэл хувьсагч агуулсан бол олон гишүүнт) байхыг шаарддаг
-
Хэрэв хуваарилагч нь […]/root (5) гэх мэт язгуур тэмдгийн доорх нэг нэр томъёоноос бүрдсэн бол […]*sqrt (5)/sqrt (5)*sqrt авахын тулд тоологч ба хуваарийг хоёуланг нь үндэслэн үржүүл. (5) = […]*root (5)/5.
Куб эсвэл түүнээс дээш үндэстэй бол зохих язгуураар үржүүлснээр хуваагч нь оновчтой болно. Хэрэв хуваарилагч нь^3 (5) үндэс бол тоологч ба хуваарийг sqrt^3 (5)^2 -оор үржүүлнэ үү
-
Хэрэв хуваарилагч нь sqrt (2) + sqrt (6) гэх мэт хоёр квадрат язгуурыг нэмэх, хасахаас бүрдсэн бол тоон үзүүлэлт ба хуваарилагчийг ижил хэлбэртэй, гэхдээ эсрэг тэмдэгтэй холбогчоор үржүүлнэ. Дараа нь […]/(root (2) + root (6)) = […] (root (2) -root (6))/(root (2) + root (6)) (root (2) -root (6)). Дараа нь [квадрат (2) + sqrt (6)) (sqrt (2 2) -sqrt (6)) = sqrt (2)^2 -sqrt (6)^2 = 2-6 = -4.
- Энэ нь 5 + sqrt (3) гэх мэт хуваагчдад хамаатай, учир нь бүхэл тоонууд нь бусад бүхэл тоонуудын үндэс юм. [1/(5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5^ 2-sqrt (3)^2) = (5-sqrt (3))/(25-3) = (5-sqrt (3))/22]
- Энэ арга нь sqrt (5) -sqrt (6)+sqrt (7) гэх мэт үндсийг нэмэхэд мөн хамаарна. Хэрэв та тэдгээрийг (sqrt (5) -sqrt (6))+sqrt (7) гэж бүлэглээд (sqrt (5) -sqrt (6))-sqrt (7) -р үржүүлэх юм бол хариулт нь оновчтой биш, харин a+b*root (30) хэвээр байгаа бөгөөд a ба b нь аль хэдийн рационал тоонууд юм. Дараа нь a+b*sqrt (30) болон (a+b*sqrt (30)) (a-b*sqrt (30)) коньюгатуудтай үйлдлийг давтах нь оновчтой байх болно. Үндсэндээ хэрэв та энэ заль мэхийг ашиглан нэрлэсэн нэг эх тэмдгийг арилгаж чадвал бүх үндсийг арилгахын тулд олон удаа давтаж болно.
- Энэ аргыг мөн 3 -ын дөрөв дэх язгуур, 9 -ийн долоо дахь язгуур гэх мэт илүү өндөр язгуур агуулсан хуваагдлын хувьд ашиглаж болно. Харамсалтай нь, бид хуваарилагчийн нэгдлийг шууд авч чаддаггүй бөгөөд үүнийг хийхэд хэцүү байдаг. Бид тооны онолын талаархи алгебрийн номноос хариултыг олж чадна, гэхдээ би үүнд орохгүй.
Алхам 2. Одоо хуваагч нь оновчтой хэлбэртэй байгаа боловч тоологч нь эмх замбараагүй харагдаж байна
Одоо та үүнийг хуваарийн нийлбэрээр үржүүлэх л үлдлээ. Үргэлжлүүлээд бид олон гишүүнтийг үржүүлэх шиг үржүүлээрэй. Боломжтой бол аливаа нэр томъёог орхигдуулж, хялбарчилж эсвэл нэгтгэж болох эсэхийг шалгаарай.
Алхам 3. Хэрэв хуваагч нь сөрөг бүхэл тоо байвал тоологч ба хуваагчийг хоёуланг нь -1 -ээр үржүүлж эерэг болгоно
Зөвлөмж
- Та эх хэлбэрийг хялбаршуулахад туслах сайтуудыг онлайнаар хайж болно. Зүгээр л root тэмдгээр тэгшитгэл бичээд Enter дарсны дараа хариулт гарч ирнэ.
- Илүү энгийн асуултуудын хувьд та энэ нийтлэлийн бүх алхамыг ашиглахгүй байж магадгүй юм. Илүү төвөгтэй асуултуудын хувьд та хэд хэдэн алхамыг нэгээс олон удаа ашиглах шаардлагатай болж магадгүй юм. "Энгийн" алхмуудыг хэд хэдэн удаа ашиглаад, таны хариулт өмнө нь хэлэлцсэн стандарт томъёоллын шалгуурт нийцэж байгаа эсэхийг шалгаарай. Хэрэв таны хариулт стандарт томъёонд байгаа бол та дууссан; гэхдээ үгүй бол та дээрх алхмуудын аль нэгийг хийж гүйцэтгэхэд тань туслах болно.
- Үндэс хэлбэрийн "санал болгосон стандарт томъёо" -ны талаархи ихэнх лавлагаа нь нарийн тоонуудад хамаарна (i = root (-1)). Хэдийгээр мэдэгдэл нь root -ийн оронд "i" -г агуулж байсан ч гэсэн i -ийг агуулсан хэсгүүдээс аль болох зайлсхийх хэрэгтэй.
- Энэ нийтлэл дэх зарим зааврууд бүх үндэс нь дөрвөлжин гэж үздэг. Үүнтэй ижил ерөнхий зарчмууд нь дээд эрх мэдлийн үндэс сууринд хамаарна, гэхдээ зарим хэсгүүд (ялангуяа хуваарийг оновчтой болгох) нь ажиллахад нэлээд хэцүү байдаг. Sqr^3 (4) эсвэл sqr^3 (2)^2 гэх мэт ямар хэлбэрийг хүсч байгаагаа өөрөө шийдээрэй. (Сурах бичигт ихэвчлэн ямар хэлбэр санал болгосныг би санахгүй байна).
- Энэ нийтлэл дэх зарим зааварчилгаанд "ердийн маягт" гэсэн үгийг "стандарт томъёо" гэсэн үгийг ашигладаг. Ялгаа нь стандарт томъёо нь зөвхөн 1+sqrt (2) эсвэл sqrt (2) +1 хэлбэрийг хүлээн зөвшөөрч, бусад хэлбэрийг стандарт бус гэж үздэгт оршино. Энгийн хэлбэр нь уншигч та эдгээр хоёр тооны "ижил төстэй" байдлыг бичгээр бичээгүй ч гэсэн алгебрийн шинж чанар (үндэс нь арифметик шинж чанараараа (ижил утгатай) гэсэн утгыг илэрхийлдэг. (2) нь x^2-2-ийн сөрөг сөрөг бус үндэс юм)). Уншигчид энэхүү нэр томъёог ашиглахдаа хайхрамжгүй хандаж байгааг ойлгох болно гэж найдаж байна.
- Хэрэв ямар нэгэн сэжүүр нь хоёрдмол утгатай эсвэл зөрчилдсөн мэт санагдаж байвал бүх алхамуудыг хоёрдмол утгагүй, тууштай хийж, дараа нь аль хэлбэрээ сонгохоо сонгоорой.
