Олон гишүүнт нь зэрэг гэж нэрлэгддэг, хэд хэдэн нэр томъёо ба/эсвэл тогтмолтой хувьсагч (x) агуулдаг. Олон гишүүнтийг факторчилно гэдэг нь тэгшитгэлийг үржүүлж болох энгийн тэгшитгэл болгон задлах гэсэн үг юм. Энэ ур чадвар нь Алгебр 1 ба түүнээс дээш түвшний мэдлэгтэй бөгөөд хэрэв математикийн ур чадвар тань энэ түвшинд байхгүй бол ойлгоход хэцүү байж магадгүй юм.
Алхам
Эхлэх
Алхам 1. Өөрийн тэгшитгэлийг тохируулна уу
Квадрат тэгшитгэлийн стандарт хэлбэр нь:
сүх2 + bx + c = 0
Энэхүү стандарт форматтай адил тэгшитгэл дэх нэр томъёог хамгийн ихээс хамгийн бага хүртэл нь захиалж эхэл. Жишээлбэл:
6 + 6х2 + 13x = 0
Бид энэ тэгшитгэлийг дахин эрэмбэлэх бөгөөд ингэснээр нэр томъёог хөдөлгөж ажиллахад хялбар болно.
6х2 + 13x + 6 = 0
Алхам 2. Дараах аргуудын аль нэгийг ашиглан форм факторыг олоорой
Олон гишүүнтийг задалснаар анхны олон гишүүнтийг бий болгохын тулд үржүүлж болох хоёр энгийн тэгшитгэлийг гаргадаг.
6х2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Энэ жишээнд (2x + 3) ба (3x + 2) нь анхны тэгшитгэлийн хүчин зүйл болох 6x болно2 +13x+6.
Алхам 3. Ажлаа шалгаарай
Танд байгаа хүчин зүйлсийг үржүүл. Дараа нь ижил нэр томъёог нэгтгэвэл та үүнийг хийж чадна. Эхлэх:
(2x + 3) (3x + 2)
PLDT ашиглан нэр томъёог үржүүлье (эхлээд - гадна - дотор - сүүл), үр дүнд нь:
6х2 + 4x + 9x + 6
Эндээс бид 4x ба 9x -ийг нэмж болно, учир нь тэдгээр нь нэр томъёо шиг байдаг. Бидний анхны тэгшитгэлийг олж авсан тул бидний хүчин зүйл зөв гэдгийг бид мэднэ.
6х2 + 13x + 6
6 -ийн 1 -р арга: Туршилт ба алдаа
Хэрэв танд нэлээд энгийн олон гишүүнт байгаа бол тэдгээрийг хараад л хүчин зүйлсийг өөрөө олох боломжтой байж магадгүй юм. Жишээлбэл, дадлага хийсний дараа олон математикчид 4x тэгшитгэлийг олж чадна2 + 4x + 1 нь байнга хараад л (2x + 1) ба (2x + 1) гэсэн хүчин зүйлтэй байдаг. (Энэ нь илүү төвөгтэй олон гишүүнтүүдийн хувьд мэдээж амаргүй байх болно). Энэ жишээнд бага ашиглагддаг тэгшитгэлийг ашиглая.
3х2 + 2x - 8
Алхам 1. a ба c гишүүний хүчин зүйлсийн жагсаалтыг бич
Сүх тэгшитгэлийн форматыг ашиглаж байна2 + bx + c = 0, a ба c нэр томъёог тодорхойлж, хоёуланг нь агуулсан хүчин зүйлсийг бич. 3х -ийн хувьд2 + 2x - 8 гэсэн утгатай:
a = 3 ба олон хүчин зүйлтэй: 1 * 3
c = -8 бөгөөд дөрвөн багц хүчин зүйлтэй: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, -1 * 8.
Алхам 2. Хоосон зай бүхий хоёр багц хаалт бич
Та үүсгэсэн хоосон зайг тэгшитгэл бүрийн хувьд тогтмолуудаар бөглөх болно.
(x) (x)
Алхам 3. x -ийн урд талын хоосон зайг a -ийн утгын боломжит хос хүчин зүйлээр бөглөнө үү
Бидний жишээн дээрх а нэр томъёоны хувьд 3х2, бидний жишээнд ганцхан боломж бий:
(3х) (1х)
Алхам 4. x -ийн дараах хоёр хоосон зайг тогтмолын хос хүчин зүйлээр бөглөнө үү
Бид 8 ба 1 -ийг сонгосон гэж бодъё.
(3х
Алхам 8.)(
1-р алхам
Алхам 5. x хувьсагч ба тооны хоорондох тэмдгийг (нэмэх эсвэл хасах) тодорхойлох
Анхны тэгшитгэл дэх тэмдгүүдээс хамааран тогтмолуудын тэмдгийг хайх боломжтой байж магадгүй юм. Бид хоёр хүчин зүйлийнхээ хувьд h ба k гэсэн хоёр тогтмолыг нэрлэе гэж бодъё.
Сүх бол2 + bx + c дараа нь (x + h) (x + k)
Сүх бол2 - bx - c эсвэл сүх2 + bx - c дараа нь (x - h) (x + k)
Сүх бол2 - bx + c дараа нь (x - h) (x - k)
Бидний жишээнд 3х2 + 2x - 8, тэмдгүүд нь: (x - h) (x + k) бөгөөд бидэнд хоёр хүчин зүйлийг өгдөг.
(3x + 8) ба (x - 1)
Алхам 6. Сүүлийг эхнээс нь үржүүлэх (PLDT) ашиглан сонголтоо шалгаарай
Эхний хурдан тест бол дунд хугацааны наад зах нь зөв утгатай эсэхийг шалгах явдал юм. Үгүй бол та буруу c хүчин зүйлийг сонгосон байж магадгүй юм. Хариултаа туршиж үзье:
(3x + 8) (x - 1)
Үржүүлэх замаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
3х2 - 3x + 8x - 8
(-3x) ба (8x) гэсэн нэр томъёог нэмж энэ тэгшитгэлийг хялбаршуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
3х2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
Бид буруу хүчин зүйлийг ашигласан байх ёстой гэдгийг одоо мэдэж байна.
3х2 + 5x - 8 3x2 + 2x - 8
Алхам 7. Шаардлагатай бол сонголтоо өөрчилнө үү
Бидний жишээнд 1 ба 8 -ийн оронд 2 ба 4 -ийг туршиж үзье.
(3x + 2) (x - 4)
Одоо бидний c нэр томъёо -8 байна, гэхдээ бидний гадна/доторх бүтээгдэхүүн (3x * -4) ба (2 * x) нь -12x ба 2x бөгөөд нийлж зөв b +2x нэр томъёог гаргахгүй болно.
-12x + 2x = 10x
10х 2х
Алхам 8. Шаардлагатай бол захиалгаа буцаана уу
2 ба 4 -ийг сольж үзье.
(3x + 4) (x - 2)
Одоо бидний c нэр томъёо (4 * 2 = 8) зөв боловч гадна/дотоод бүтээгдэхүүн нь -6x ба 4x байна. Хэрэв бид тэдгээрийг нэгтгэвэл:
-6x + 4x = 2x
2x -2x Бид хайж байгаа 2x -той нэлээд ойрхон байгаа ч тэмдэг буруу байна.
Алхам 9. Шаардлагатай бол хаягаа дахин шалгана уу
Бид ижил дарааллыг ашиглах боловч хасах тэмдэгтэй тэгшитгэлийг солино.
(3x - 4) (x + 2)
Одоо c гэсэн нэр томъёо нь ямар ч асуудалгүй бөгөөд одоогийн гадаад/дотоод бүтээгдэхүүн нь (6x) ба (-4x) юм. Учир нь:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Одоо бид анхны асуудлаас эерэг 2x -ийг ашиглаж болно. Эдгээр нь зөв хүчин зүйлүүд байх ёстой.
6 -ийн 2 -р арга: задрал
Энэ арга нь a ба c нэр томъёоны бүх боломжит хүчин зүйлсийг тодорхойлж, тэдгээрийг ашиглан зөв хүчин зүйлсийг олох болно. Хэрэв тоонууд хэтэрхий том эсвэл таах нь цаг хугацаа шаардсан мэт санагдаж байвал энэ аргыг ашиглаарай. Жишээ авч үзье:
6х2 + 13x + 6
Алхам 1. А гишүүнийг үгээр үржүүлэх c
Энэ жишээнд a нь 6, c нь мөн 6 байна.
6 * 6 = 36
Алхам 2. Факторинг болон тест хийх замаар b нэр томъёог олж аваарай
Бид тодорхойлсон a * c бүтээгдэхүүний хүчин зүйл болох хоёр тоог хайж байна, мөн b (13) гэсэн нэр томъёог нэмнэ үү.
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Алхам 3. b гишүүнийг нэмсний үр дүнд олж авсан хоёр тоог тэгшитгэлдээ орлуулна уу
4 ба 9 гэсэн хоёр тоог илэрхийлэхийн тулд k ба h -ийг ашиглацгаая.
сүх2 + kx + hx + c
6х2 + 4x + 9x + 6
Алхам 4. Олон гишүүнтийг бүлэглэх замаар хүчин зүйл болгоно
Эхний ба хоёр дахь нэр томъёоны хамгийн том нийтлэг хүчин зүйлийг авахын тулд тэгшитгэлүүдийг цэгцэл. Хүчин зүйлсийн бүлэг ижил байх ёстой. Хамгийн агуу нийтлэг хүчин зүйлийг нэмж, хүчин зүйлийн бүлгийн хажууд хаалтанд оруулна уу; үр дүн нь таны хоёр хүчин зүйл юм:
6х2 + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
6 -ийн 3 -р арга: Гурвалсан тоглолт
Задлах аргын нэгэн адил гурвалсан тоглох арга нь a ба c нэр томъёог үржүүлж, b утгыг ашиглах боломжит хүчин зүйлсийг судалдаг. Энэ тэгшитгэлийн жишээг ашиглаж үзээрэй.
8х2 + 10х + 2
Алхам 1. А гишүүнийг үгээр үржүүлэх c
Шинжилгээний аргын нэгэн адил энэ нь b хугацаанд нэр дэвшигчдийг тодорхойлоход тусална. Энэ жишээнд a нь 8, c нь 2 байна.
8 * 2 = 16
Алхам 2. Тоогоор үржүүлбэл энэ тоог b гишүүнтэй тэнцүү нийлбэрээр гаргадаг хоёр тоог ол
Энэ алхам нь задлан шинжлэхтэй адил юм - бид тогтмол нэр дэвшигчдийг шалгаад хаядаг. A ба c нэр томъёоны үржвэр нь 16, c нэр томъёо нь 10 байна.
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Алхам 3. Эдгээр хоёр тоог аваад гурвалсан тоглох томъёонд залгаад туршиж үзээрэй
Өмнөх алхамаас авсан хоёр дугаараа аваад h ба k гэж нэрлээд тэгшитгэлд оруулна уу.
((ax + h) (ax + k))/ a
Бид авах болно:
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Алхам 4. Тоологч дээрх хоёр нэр томъёоны аль нэг нь а -д хуваагдах боломжтой болохыг анхаарна уу
Энэ жишээн дээр бид (8x + 8) эсвэл (8x + 2) нь 8 -д хуваагддаг эсэхийг харсан. (8x + 8) нь 8 -д хуваагддаг тул бид энэ нэр томъёог a -д хувааж бусад хүчин зүйлсийг орхих болно.
(8x + 8) = 8 (x + 1)
Энд байгаа хаалтанд байгаа нэр томъёо нь a нэр томъёогоор хуваагдсаны дараа үлдсэн зүйл юм.
Алхам 5. Нэг эсвэл хоёр нэр томъёоны хамгийн том нийтлэг хүчин зүйл (GCF) -ийг авч үзье
Энэ жишээнд, хоёр дахь нэр томъёо, GCF 2 байна, учир нь 8x + 2 = 2 (4x + 1). Энэ үр дүнг өмнөх алхамаас авсан нэр томъёотой хослуул. Эдгээр нь таны тэгшитгэлд байгаа хүчин зүйлүүд юм.
2 (x + 1) (4x + 1)
6 -ийн 4 -р арга: Дөрвөлжин язгуурын ялгаа
Олон гишүүнтүүдийн зарим коэффициентууд нь "квадратууд" эсвэл хоёр тооны үржвэр байж болно. Эдгээр квадратуудыг тодорхойлох нь олон полиномыг илүү хурдан задлах боломжийг олгодог. Энэ тэгшитгэлийг туршиж үзээрэй.
27x2 - 12 = 0
Алхам 1. Боломжтой бол хамгийн том нийтлэг хүчин зүйлийг гарга
Энэ тохиолдолд 27 ба 12 нь 3 -т хуваагддаг болохыг бид харж байна, ингэснээр бид дараахь зүйлийг авна.
27x2 - 12 = 3 (9х2 - 4)
Алхам 2. Таны тэгшитгэлийн коэффициентууд квадрат тоонууд мөн эсэхийг тодорхойл
Энэ аргыг ашиглахын тулд та хоёр нэр томъёоны квадрат язгуурыг авах чадвартай байх ёстой. (Бид сөрөг тэмдгийг үл тоомсорлох болно гэдгийг анхаарна уу, учир нь эдгээр тоонууд нь квадратууд тул хоёр эерэг эсвэл сөрөг тооны үржвэр байж болно)
9х2 = 3x * 3x ба 4 = 2 * 2
Алхам 3. Танд байгаа квадрат язгуурыг ашиглан хүчин зүйлсийг бичнэ үү
Бид a болон c -ийн утгыг дээрх алхамаас авна - a = 9 ба c = 4, дараа нь квадрат язгуурыг олоорой - a = 3 ба c = 2. Үр дүн нь хүчин зүйлийн тэгшитгэлийн коэффициент юм.
27x2 - 12 = 3 (9х2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
6 -ийн 5 -р арга: Квадрат томъёо
Хэрэв бүх зүйл амжилтгүй болж, тэгшитгэлийг бүхэлд нь тоолох боломжгүй бол квадрат томъёог ашиглана уу. Энэ жишээг туршиж үзээрэй.
x2 + 4x + 1 = 0
Алхам 1. Шаардлагатай утгуудыг квадрат томъёонд оруулна уу
x = -b ± (b2 - 4ac)
2а
Бид тэгшитгэлийг олж авна:
x = -4 ± (42 - 4•1•1) / 2
Алхам 2. x -ийн утгыг ол
Та хоёр утгыг авах болно. Дээр үзүүлсэн шиг бид хоёр хариултыг авах болно.
x = -2 + (3) эсвэл x = -2 -(3)
Алхам 3. Х утгыг ашиглан хүчин зүйлүүдийг хайж олоорой
Авсан x утгуудаа хоёр гишүүнт тэгшитгэлд тогтмол байдлаар залгаарай. Үр дүн нь таны хүчин зүйлүүд юм. Хэрэв бид хариултаа h ба k гэж нэрлэвэл бид хоёр хүчин зүйлийг дараах байдлаар бичнэ.
(x - h) (x - k)
Энэ жишээнд бидний эцсийн хариулт нь:
(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))
6 -р арга 6: Тоолуур ашиглах
Хэрэв та тооцоолуур ашиглахыг зөвшөөрсөн бол график тооцоолуур нь факторинг хийх үйл явцыг, ялангуяа стандартчилсан тест хийхэд илүү хялбар болгодог. Эдгээр заавар нь TI график тооцоолуурт зориулагдсан болно. Бид тэгшитгэлийн жишээг ашиглах болно.
y = x2 x 2
Алхам 1. Тооцоологчдоо тэгшитгэлээ оруулна уу
Та дэлгэц дээр [Y =] гэж бичигдсэн тэгшитгэлийн факторингийг ашиглах болно.
Алхам 2. Тооцоологч ашиглан тэгшитгэлээ графикаар зур
Та тэгшитгэлээ оруулсны дараа [GRAPH] товчийг дарна уу - та тэгшитгэлийг илэрхийлсэн гөлгөр муруй харах болно (мөн бид олон гишүүнтийг ашиглаж байгаа тул хэлбэр нь муруй болно).
Алхам 3. Муруй нь x тэнхлэгтэй огтлолцох байршлыг ол
Олон гишүүнт тэгшитгэлийг ихэвчлэн сүхээр бичдэг тул2 + bx + c = 0, энэ огтлолцол нь x -ийн хоёр дахь утга бөгөөд тэгшитгэлийг тэг болгоход хүргэдэг:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
Хэрэв та график нь x тэнхлэгтэй огтлолцож байгааг хараад тодорхойлох боломжгүй бол [2], дараа нь [TRACE] дарна уу. [2] дээр дарна уу эсвэл тэгийг сонгоно уу. Курсорыг уулзварын зүүн талд шилжүүлж [ENTER] дарна уу. Курсорыг уулзварын баруун талд шилжүүлж [ENTER] дарна уу. Курсорыг уулзвар руу аль болох ойртуулж [ENTER] дарна уу. Тооцоологч нь x -ийн утгыг олох болно. Үүнийг бусад уулзваруудад бас хийх хэрэгтэй
Алхам 4. Өмнөх алхамаас олж авсан x утгыг хоёр хүчин зүйлийн тэгшитгэлд залгаарай
Хэрэв бид x ба k гэсэн утгуудаа хоёуланг нь нэрлэвэл бидний ашиглах тэгшитгэлүүд дараах байдалтай байх болно.
(x - h) (x - k) = 0
Тиймээс бидний хоёр хүчин зүйл нь:
(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
Зөвлөмж
- Хэрэв танд TI-84 тооны машин (график) байгаа бол таны квадрат тэгшитгэлийг шийдэх SOLVER нэртэй програм байдаг. Энэ програм нь ямар ч түвшний олон гишүүнтийг шийдвэрлэх болно.
- Хэрэв нэр томъёог бичээгүй бол коэффициент нь 0. Ийм тохиолдолд тэгшитгэлийг дахин бичих нь тустай, жишээлбэл: x2 + 6 = x2 +0x+6.
- Хэрэв та квадрат томъёог ашиглан полиномоо гаргаж, үндсийг нь авсан бол x -ийн утгыг бутархай болгон хөрвүүлэхийг хүсч магадгүй юм.
- Хэрэв нэр томъёо нь бичгийн коэффициентгүй бол коэффициент 1 байна, жишээлбэл: x2 = 1х2.
- Хангалттай дасгал хийсний эцэст та толгой дээрээ олон гишүүнтийг тооцоолох боломжтой болно. Үүнийг хийж чадах хүртлээ хэрхэн яаж хийхийг үргэлж бичиж байгаарай.
