Алгебрийн тэгшитгэлийг тодорхойлох 3 арга зам

2024 Зохиолч: Jason Gerald | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2024-01-15 08:20

Математикийн хувьд, факторинг нь үржүүлэхэд өгөгдсөн тоо эсвэл тэгшитгэлийг бий болгох тоо, илэрхийлэлийг олох арга юм. Факторинг бол алгебрийн энгийн асуудлыг шийдвэрлэхэд суралцах ашигтай ур чадвар юм; сайн тооцоолох чадвар нь квадрат тэгшитгэл болон бусад олон гишүүнттэй харьцахдаа чухал болдог. Алгебрийн илэрхийлэлийг хялбарчлахын тулд факторинг ашиглан шийдлийг нь хялбарчилж болно. Факторинг нь тодорхой хариултыг гараар шийдвэрлэхээс хамаагүй хурдан арилгах боломжийг танд олгоно.

Алхам

3 -ийн 1 -р арга: Факторинг тоо ба энгийн алгебрийн илэрхийлэл

Алхам 1. Ганц тоон дээр хэрэглэвэл факторингийн тодорхойлолтыг ойлгох

Факторинг гэдэг нь энгийн ойлголт боловч практик дээр нарийн төвөгтэй тэгшитгэлд хэрэглэхэд бэрхшээлтэй байж болно. Факторинг гэдэг ойлголтыг энгийн тооноос эхэлж, дараа нь энгийн тэгшитгэл рүү шилжиж, дараа нь илүү төвөгтэй програмууд руу шилжих нь хамгийн хялбар юм. Тооны хүчин зүйлүүд нь тоог үржүүлэхэд тоог гаргадаг тоо юм. Жишээлбэл, 12 -ийн хүчин зүйлүүд нь 1, 12, 2, 6, 3, 4 байна, учир нь 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4 нь 12 -тэй тэнцүү юм.

• Үүнийг бодох өөр нэг арга бол тооны хүчин зүйлүүд нь тоонд жигд хувааж чаддаг тоо юм.

• 60 тооны бүх хүчин зүйлийг олж чадах уу? Бид 60 тоог өөр өөр тоонуудад хувааж болох тул янз бүрийн зорилгоор (минут, цагт, секундэд гэх мэт) ашигладаг.

  60 -ийн хүчин зүйлүүд нь 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 байна

Алхам 2. Хувьсах илэрхийллийг бас факторын дагуу хийж болохыг ойлгоорой

Тоонуудыг өөрсдөө тооцож чаддагийн адил тоон коэффициент бүхий хувьсагчдыг ч бас факторлож болно. Үүнийг хийхийн тулд зөвхөн хувьсах коэффициентүүдийн хүчин зүйлийг олох хэрэгтэй. Хувьсагчийг хэрхэн факторчлох талаар мэдэх нь тухайн хувьсагчийг оролцуулсан алгебрийн тэгшитгэлийг хялбарчлахад маш хэрэгтэй байдаг.

• Жишээлбэл, 12x хувьсагчийг 12 ба x хүчин зүйлийн үржвэр гэж бичиж болно. Бид 12x -ийг 3 (4x), 2 (6x) гэх мэтээр бичих боломжтой бөгөөд 12 -ийн аль хүчин зүйл нь бидний зорилгод хамгийн сайн нийцдэгийг ашиглаж болно.

  Бид бүр 12 дахин олон удаа фактор хийх боломжтой. Өөрөөр хэлбэл, бид 3 (4x) эсвэл 2 (6x) дээр зогсох шаардлагагүй - 3 (2 (2x) ба 2 (3 (2x)) гаргахын тулд бид 4x ба 6x -ийг фактор болгоно. Мэдээжийн хэрэг, эдгээр хоёр илэрхийлэл тэнцүү байна

Алхам 3. Үржүүлгийн тархалтын шинж чанарыг фактор алгебрийн тэгшитгэлд хэрэглэнэ

Ганц тоо болон хувьсагчийг коэффициентээр хэрхэн яаж тооцох тухай мэдлэгээ ашиглан алгебрийн тэгшитгэлд тоонууд болон хувьсагчдын хуваалцах хүчин зүйлсийг олж энгийн алгебрийн тэгшитгэлийг хялбарчилж болно. Ихэвчлэн тэгшитгэлийг хялбарчлахын тулд бид хамгийн том нийтлэг хүчин зүйлийг олохыг хичээдэг. Энэхүү хялбарчлах үйл явц нь үржүүлэх хуваарилах шинж чанараас шалтгаалан боломжтой бөгөөд энэ нь ямар ч a, b, c тоонд хамаарна. a (b + c) = ab + ac.

• Жишээ асуултыг туршиж үзье. Алгебрийн 12x + 6 тэгшитгэлийг задлахын тулд эхлээд 12x ба 6 гэсэн хамгийн том нийтлэг коэффициентийг олохыг хичээцгээе. 6 бол 12x ба 6 -г жигд хувааж чадах хамгийн том тоо бөгөөд ингэснээр тэгшитгэлийг 6 (2x + 1) болгон хялбарчилж болно..
• Энэ үйл явц нь сөрөг тоо, бутархайтай тэгшитгэлд мөн хамаарна. Жишээлбэл, x/2 + 4, 1/2 (x + 8) болгон хялбарчилж, -7x + -21 -г -7 (x + 3) болгоно.

3 -ийн 2 -р арга: Квадрат тэгшитгэлийг факторинг хийх

Алхам 1. Тэгшитгэл нь квадрат хэлбэртэй байгаа эсэхийг шалгаарай (ax² + bx + c = 0).

Квадрат тэгшитгэл нь ax хэлбэртэй байдаг² + bx + c = 0, энд a, b, c нь тоон тогтмол бөгөөд 0 -тэй тэнцүү биш (a can 1 эсвэл -1 -тэй тэнцүү болохыг анхаарна уу). Хэрэв танд нэг x (хоёр) хувьсагчтай хоёр ба түүнээс дээш тооны тэгшитгэл байгаа бол та тэгшитгэлийн энгийн алгебрийн үйлдлүүдийг ашиглан тэгшитгэл ба сүхний хоёр талд 0 -ийг авна.²гэх мэт. нөгөө талаар.

• Жишээлбэл, алгебрийн тэгшитгэлийг бодъё. 5х² + 7x - 9 = 4x² + x - 18 -ийг x болгож хялбарчилж болно² + 6x + 9 = 0, энэ нь дөрвөлжин хэлбэр юм.
• X гэх мэт том хэмжээтэй x тэгшитгэл³, x⁴гэх мэт. нь квадрат тэгшитгэл биш юм. Эдгээр тэгшитгэлийг 2 -оос дээш эрх мэдэлтэй эдгээр x нэр томъёог хасахын тулд тэгшитгэлийг хялбарчлахгүй бол куб тэгшитгэл, дөрөв дэхь хүч гэх мэт.

Алхам 2. a = 1 байх квадрат тэгшитгэлд (x+d) (x+e) болгон хувааж, d × e = c ба d+e = b

Хэрэв таны квадрат тэгшитгэл x хэлбэртэй байвал² + bx + c = 0 (өөрөөр хэлбэл, x нэр томъёоны коэффициент² = 1), тэгшитгэлийг тодорхойлохын тулд нэлээд хялбар стенографийн аргыг ашиглах боломжтой (гэхдээ баталгаагүй). Үржүүлэхдээ c гэж өгдөг хоёр тоог олоорой ба үйлдвэрлэх хүртэл нэмсэн b. Эдгээр d ба e гэсэн хоёр тоог хайсны дараа тэдгээрийг дараах илэрхийлэлд оруулна уу. (x+d) (x+e). Эдгээр хоёр нэр томъёог үржүүлэхэд танд квадрат тэгшитгэл өгөх болно, өөрөөр хэлбэл эдгээр нь таны квадрат тэгшитгэлийн хүчин зүйл болно.

• Жишээлбэл x квадрат тэгшитгэлийг бодъё² + 5x + 6 = 0. 3 ба 2 -ийг үржүүлээд 6 -г өгч, мөн 5 -ыг нэмэхээр нэмсэн тул бид энэ тэгшитгэлийг (x + 3) (x + 2) болгон хялбарчилж болно.

• Энэхүү стенографийн үндсэн аргын бага зэргийн ялгаа нь ижил төстэй байдлын ялгаанаас үүдэлтэй юм.

  • Хэрэв квадрат тэгшитгэл нь x хэлбэртэй байвал²-bx+c, таны хариулт дараах хэлбэртэй байна: (x - _) (x - _).
  • Хэрэв тэгшитгэл x хэлбэртэй байвал²+ bx + c, таны хариулт иймэрхүү харагдаж байна: (x + _) (x + _).
  • Хэрэв тэгшитгэл x хэлбэртэй байвал²-bx -c, таны хариулт (x + _) (x -_) хэлбэрээр байна.
• Анхаарна уу: хоосон зай дахь тоонууд нь бутархай эсвэл аравтын бутархай байж болно. Жишээлбэл, x тэгшитгэл² + (21/2) x + 5 = 0 нь (x + 10) (x + 1/2) -д хуваагдана.

Алхам 3. Боломжтой бол чекээр дамжуулж тооцно

Итгэх үү, итгэхгүй үү, квадрат тэгшитгэлийн хувьд зөвшөөрөгдсөн факторинг хийх аргуудын нэг бол асуудлыг судалж, дараа нь зөв хариултыг олох хүртэл боломжит хариултуудыг авч үзэх явдал юм. Энэ аргыг шалгалтаар дамжуулан факторинг гэж нэрлэдэг. Хэрэв тэгшитгэл нь ax хэлбэртэй байвал²+bx +c ба a> 1, таны хүчин зүйлийн хариулт нь (dx +/- _) (ex +/- _) хэлбэртэй байна, энд d ба e нь тэгээс бусад тооны тогтмолууд бөгөөд үржүүлэхэд a-ийг өгнө. D эсвэл e (эсвэл хоёулаа) аль нь ч байж болохгүй, гэхдээ заавал байх албагүй. Хэрэв хоёулаа 1 бол та дээр дурдсан богино үсгийн аргыг ашиглаж байна.

Асуудлын жишээг бодъё. 3х² - 8x + 4 нь эхэндээ хэцүү харагдаж байна. Гэсэн хэдий ч, 3 нь зөвхөн хоёр хүчин зүйлтэй (3 ба 1) байдгийг ойлговол бидний хариулт (3x +/- _) (x +/- _) хэлбэртэй байх ёстой гэдгийг мэддэг учраас энэ тэгшитгэл илүү хялбар болно. Энэ тохиолдолд хоёр хоосон зайнд -2 -ийг нэмснээр зөв хариулт өгнө. -2 × 3x = -6x ба -2 × x = -2x. -6x ба -2x -8x хүртэл нэмнэ. -2 × -2 = 4, тиймээс үржүүлэхдээ хаалтанд оруулсан нэр томъёо нь анхны тэгшитгэлийг бий болгож байгааг бид харж байна.

Алхам 4. Квадратыг бөглөж шийдэх

Зарим тохиолдолд квадрат тэгшитгэлийг тусгай алгебрийн таних тэмдгийг ашиглан хурдан бөгөөд хялбархан гаргаж болно. X хэлбэрийн аливаа квадрат тэгшитгэл² + 2xh + h² = (x + h)². Хэрэв таны тэгшитгэлд таны b утга нь таны c утгын квадрат язгуураас хоёр дахин их байвал таны тэгшитгэлийг (x + (root (c))) гэж тооцож болно.².

Жишээлбэл, x тэгшитгэл² +6x+9 нь ийм хэлбэртэй байдаг. 3² 9 ба 3 × 2 нь 6 байна. Тиймээс энэ тэгшитгэлийн хүчин зүйл хэлбэр нь (x + 3) (x + 3), эсвэл (x + 3) болохыг бид мэднэ.².

Алхам 5. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ хүчин зүйлүүдийг ашигла

Квадрат тэгшитгэлээ хэрхэн яаж гаргаж авсан эсэхээс үл хамааран тэгшитгэлийг нэгтгэсний дараа хүчин зүйл бүрийг тэг болгож, тэдгээрийг шийдвэрлэх замаар x -ийн утгын хариултыг олох боломжтой болно. Та тэгшитгэлээ тэг болгож буй x -ийн утгыг хайж байгаа тул аливаа хүчин зүйлийг тэг болгож буй x -ийн утга нь таны квадрат тэгшитгэлийн хариулт байж магадгүй юм.

Х тэгшитгэл рүү буцъя² + 5x + 6 = 0. Энэ тэгшитгэлийг (x + 3) (x + 2) = 0 гэж оруулсан болно. Хэрэв аль нэг хүчин зүйл нь 0-тэй тэнцүү бол бүх тэгшитгэл нь 0-тэй тэнцүү болно. x + 3) ба (x + 2) 0 -тэй тэнцүү байна. Эдгээр тоо нь -3 ба -2 байна.

Алхам 6. Хариултаа шалгаарай - зарим хариулт нь төөрөгдүүлж магадгүй юм

Хэрэв та x -ийн хариултыг олох боломжтой бол хариултаа зөв эсэхийг мэдэхийн тулд тэдгээрийг анхны тэгшитгэлдээ оруулна уу. Заримдаа, таны олсон хариултууд дахин оруулахдаа анхны тэгшитгэлийг тэгтэй тэнцүү болгодоггүй. Бид энэ хариултыг хазайлт гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг үл тоомсорлодог.

• -2 ба -3 -ийг x -д оруулъя² + 5x + 6 = 0. Нэгдүгээрт, -2:

  • (-2)² + 5(-2) + 6 = 0
  • 4 + -10 + 6 = 0
  • 0 = 0. Энэ хариулт зөв тул -2 бол зөв хариулт.

• Одоо -3 -ийг туршиж үзье.

  • (-3)² + 5(-3) + 6 = 0
  • 9 + -15 + 6 = 0
  • 0 = 0. Энэ хариулт бас зөв тул -3 бол зөв хариулт.

3 -ийн 3 -р арга: Бусад тэгшитгэлийг факторинг хийх

Алхам 1. Хэрэв тэгшитгэлийг a хэлбэрээр илэрхийлбэл²-b², (a+b) (a-b) -д нөлөөлөх хүчин зүйл.

Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл нь үндсэн квадрат тэгшитгэлээс өөр хүчин зүйлтэй байдаг. Тэгшитгэлийн хувьд a²-b² a ба b нь 0-тэй тэнцүү биш бол тэгшитгэлийн хүчин зүйлүүд (a+b) (a-b) байна.

Жишээлбэл, 9x тэгшитгэл² - 4 жил² = (3x + 2y) (3x - 2y).

Алхам 2. Хэрэв тэгшитгэлийг a хэлбэрээр илэрхийлбэл²+2ab+b², хүчин зүйл (a+b)².

Хэрэв гурвалсан хэлбэр нь a хэлбэртэй бол анхаарна уу²-2ab+b², хэлбэрийн хүчин зүйлүүд арай өөр байна: (a-b)².

4х тэгшитгэл² + 8xy + 4y² 4х гэж дахин бичиж болно² + (2 × 2 × 2) xy + 4y². Одоо бид хэлбэр нь зөв болохыг харж байгаа тул тэгшитгэлийн хүчин зүйлүүд (2x + 2y) гэдэгт итгэлтэй байж болно.²

Алхам 3. Хэрэв тэгшитгэлийг a хэлбэрээр илэрхийлбэл³-b³, хүчин зүйл (a-b) (a²+ab+b²).

Эцэст нь хэлэхэд, факторинг хийх үйл явц маш нарийн төвөгтэй болдог ч гэсэн куб тэгшитгэл, тэр ч байтугай илүү өндөр хүчийг тооцож болно гэдгийг аль хэдийн дурдсан байсан.

Жишээлбэл, 8x³ - 27 настай³ (2x - 3y) -д оруулсан (4x² + ((2x) (3y)) + 9y²)

Зөвлөмж

• a²-b² Фактор хийж болно, а²+б² баримтлах боломжгүй.
• Тогтворыг хэрхэн яаж тооцохоо санаарай. Энэ нь тусалж магадгүй юм.
• Факторинг хийх явцад бутархайтай болгоомжтой харьцаж, бутархайтай зөв, анхааралтай ажиллаарай.
• Хэрэв танд x хэлбэрийн гурвалсан хэлбэр байгаа бол²+ bx+ (b/2)², хэлбэрийн хүчин зүйл нь (x+(b/2))². (Дөрвөлжин бөглөхдөө ийм нөхцөл байдалтай тулгарч магадгүй юм.)
• A0 = 0 (тэгийн үржвэрийн шинж чанар) гэдгийг санаарай.