Алгебрийн илэрхийллийг хялбарчлах 3 арга

2024 Зохиолч: Jason Gerald | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2024-01-15 08:20

Алгебрийн илэрхийлэлийг хэрхэн хялбарчилж сурах нь үндсэн алгебрийг эзэмших түлхүүрүүдийн нэг бөгөөд математикчдад хэрэгтэй хамгийн хэрэгтэй хэрэгсэл юм. Хялбаршуулалт нь математикчдад нарийн төвөгтэй, урт ба/эсвэл сондгой илэрхийллийг илүү энгийн эсвэл илүү тэнцүү илэрхийлэл болгон хөрвүүлэх боломжийг олгодог. Математикийг үзэн яддаг хүмүүст ч гэсэн хялбарчлах үндсэн ур чадварыг сурахад маш хялбар байдаг. Хэд хэдэн энгийн алхмуудыг хийснээр математикийн тусгай мэдлэг ашиглахгүйгээр хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг олон төрлийн алгебрийн илэрхийлэлийг хялбарчлах боломжтой юм. Эхлэхийн тулд 1 -р алхамыг үзээрэй!

Алхам

Чухал ойлголтуудыг ойлгох

Алхам 1. Ижил нэр томъёог хувьсагч, хүч чадлаар нь бүлэглээрэй

Алгебрийн хувьд ижил нэр томъёо нь ижил хувьсах тохиргоотой, ижил хүч чадалтай байдаг. Өөрөөр хэлбэл, хоёр нэр томъёо тэнцүү байхын тулд тэдгээр нь ижил хувьсагчтай байх ёстой, эсвэл огт хувьсагчгүй байх ёстой бөгөөд хувьсагч бүр ижил чадалтай эсвэл экспонентгүй байх ёстой. Хувьсагчдын дараалал нь чухал биш юм.

Жишээлбэл, 3х² ба 4x² хоёулаа дөрвөлжингийн хүчээр x хувьсагчтай байдаг тул нэр томъёо шиг байдаг. Гэсэн хэдий ч x ба x² нэр томъёо бүр өөр өөр чадалтай x хувьсагчтай тул нэр томъёо шиг биш юм. Бараг ижил, -3yx ба 5xz нь нэр томъёо шиг байдаггүй, учир нь нэр томъёо бүр өөр өөр хувьсагчтай байдаг.

Алхам 2. Дугаарыг хоёр хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн болгон бичих замаар хүчин зүйл

Факторинг гэдэг нь өгөгдсөн тоог үржүүлж буй хоёр хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн болгон бичих тухай ойлголт юм. Тоонууд нь хэд хэдэн олон хүчин зүйлтэй байж болно - жишээлбэл, 12 -г 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4 -ээс авах боломжтой тул 1, 2, 3, 4, 6, 12 -ийг хүчин зүйл гэж хэлж болно. Төсөөлөх өөр нэг арга бол тооны хүчин зүйл бол бүхэл тоог хуваах тоонууд юм.

• Жишээлбэл, хэрэв бид 20 -ийг тооцохыг хүсч байвал үүнийг дараах байдлаар бичиж болно 4 × 5.
• Хувьсах нэр томъёог бас баримтжуулж болохыг анхаарна уу. -20х, жишээ нь, гэж бичиж болно 4 (5x).
• Анхны тоонуудыг дангаар нь хувааж болохгүй, учир нь тэдгээрийг зөвхөн өөрсдөө болон 1 хувааж болно.

Алхам 3. Үйлдлийн дарааллыг санахдаа KaPaK BoTaK товчлолыг ашиглана уу

Заримдаа илэрхийлэлийг хялбарчлах нь ажиллах боломжгүй болох хүртэл тэгшитгэл дэх үйлдлийг шийддэг. Энэ тохиолдолд арифметик алдаа гаргахгүйн тулд үйлдлийн дарааллыг санах нь маш чухал юм. KaPaK BoTaK товчлол нь үйлдлийн дарааллыг санахад тань туслах болно - үсгүүд нь дарааллаар нь гүйцэтгэх ёстой үйл ажиллагааны төрлийг заана.

• K бүтэлгүйтэх
• П өргөх
• K Али
• Б дахин
• Т.нэмэх
• K сам хорхой

3-ийн 1-р арга: Ижил нэр томъёог нэгтгэх

Алхам 1. Тэгшитгэлээ бичээрэй

Бүхэл тоон коэффициенттэй, бутархай, үндэс гэх мэт цөөн тооны хувьсах нэр томъёог багтаасан хамгийн энгийн алгебрийн тэгшитгэлийг ихэвчлэн хэдхэн алхамаар шийдэх боломжтой байдаг. Математикийн ихэнх асуудлын хувьд тэгшитгэлээ хялбарчлах эхний алхам бол үүнийг бичих явдал юм!

Асуудлын жишээ болгон дараагийн хэдэн алхамд бид илэрхийллийг ашигладаг 1 + 2x - 3 + 4x.

Алхам 2. Ижил төстэй овгуудыг тодорхойлох

Дараа нь тэгшитгэл дэх ижил төстэй нэр томъёог хайж олоорой. Үүнтэй ижил нэр томъёо нь ижил хувьсагч ба экспоненттэй болохыг санаарай.

Жишээлбэл, 1 + 2x - 3 + 4x тэгшитгэл дэх нэр томъёог тодорхойлъё. 2x ба 4x хоёулаа ижил хүчдэлтэй ижил хувьсагчтай байдаг (энэ тохиолдолд x нь экспонентгүй). Мөн 1 ба -3 нь хувьсагчгүй тул нэр томъёо шиг байдаг. Тиймээс бидний тэгшитгэлд 2х ба 4х ба 1 ба -3 ижил төстэй овог аймгууд юм.

Алхам 3. Нэр томъёог нэгтгэх

Одоо та ижил төстэй нэр томъёог тодорхойлсон тул тэгшитгэлээ хялбарчлахын тулд тэдгээрийг нэгтгэж болно. Ижил хувьсагчтай, экспонент бүхий нэр томъёог нэг тэнцүү нэр томъёо болгон бууруулахын тулд нэр томъёог нэмнэ үү (эсвэл сөрөг нэр томъёоны хувьд хасна уу).

• Жишээн дээрээ ижил төстэй нэр томъёог нэмж оруулъя.

  • 2x + 4x = 6х
  • 1 + -3 = - 2

Алхам 4. Хялбаршуулсан нэр томъёоноос илүү энгийн тэгшитгэл үүсгээрэй

Таалагдсан нэр томъёог нэгтгэсний дараа шинэ, жижиг нэр томъёоны тэгшитгэлийг хий. Та анхны тэгшитгэл дэх янз бүрийн хувьсагч ба эрх мэдлийн нэг нэр томъёог агуулсан энгийн тэгшитгэл авах болно. Энэхүү шинэ тэгшитгэл нь анхны тэгшитгэлтэй тэнцүү юм.

Бидний жишээн дээр бидний хялбаршуулсан нэр томъёо нь 6x ба -2 байдаг тул бидний шинэ тэгшитгэл нь 6х - 2. Энэхүү энгийн тэгшитгэл нь анхныхтай тэнцүү (1 + 2x - 3 + 4x) боловч богино, ажиллахад илүү хялбар байдаг. Үүнийг хялбарчлах бас нэг чухал ур чадвар болох доор авч үзэх болно.

Алхам 5. Нэр томъёог хослуулахдаа үйлдлийн дарааллыг дагаж мөрдөөрэй

Дээрх жишээний асуудал дээр бидний ажиллаж байсан шиг маш энгийн тэгшитгэлд ижил төстэй нэр томъёог тодорхойлоход хялбар байдаг. Гэсэн хэдий ч илүү төвөгтэй тэгшитгэлд, жишээ нь хаалт нэр томъёо, бутархай, үндсийг агуулсан илэрхийлэл гэх мэт нэгтгэх нэр томъёо нь тодорхой харагдахгүй байж магадгүй юм. Эдгээр тохиолдолд нэмэх, хасах үйлдлүүд үлдэх хүртэл шаардлагатай бол илэрхийллийнхээ дагуу үйлдлүүдийг гүйцэтгэх дарааллыг дагаж мөрдөөрэй.

• Жишээлбэл, 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x гэсэн тэгшитгэлийг ашиглая. Илэрхийлэл дэх хаалт нь эхлээд бусад үйлдлийг хийх ёстойг харуулж байгаа тул 3x, 2x -ийг ижил төстэй нэр томъёо гэж үзээд нэгтгэх нь буруу юм. Нэгдүгээрт, бид ашиглаж болох нэр томъёог олж авахын тулд үйлдлийн дарааллаар илэрхийлэл дээр арифметик үйлдлүүдийг хийдэг. Дараахыг үзнэ үү.

  • 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x² + 8 - 3х. Одоо үлдсэн цорын ганц үйлдлүүд нь нэмэх, хасах тул бид нэр томъёог нэгтгэж болно.
  • x² + (15x - 3x) + (8 - 5)
  • x² + 12x + 3

3 -ийн 2 -р арга: Факторинг

Алхам 1. Илэрхийлэх хамгийн том нийтлэг хүчин зүйлийг тодорхойл

Факторинг гэдэг нь илэрхийлэл дэх ижил төстэй хүчин зүйлүүдийг арилгах замаар илэрхийлэлийг хялбарчлах арга юм. Эхлэхийн тулд бүх нэр томъёоны хамгийн том нийтлэг хүчин зүйлийг олох хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл илэрхийллийн бүх нэр томъёог бүхэлд нь хуваасан хамгийн том тоо.

• 9х тэгшитгэлийг ашиглая² + 27x - 3. Энэ тэгшитгэл дэх бүх гишүүн 3 -т хуваагддаг болохыг анхаарна уу.

  Алхам 3. бидний хамгийн том нийтлэг хүчин зүйл юм.

Алхам 2. Илэрхийлэл дэх нэр томъёог хамгийн том нийтлэг хүчин зүйлд хуваана

Дараа нь тэгшитгэл дэх гишүүн бүрийг олсон хамгийн том нийтлэг хүчин зүйлээр нь хуваана. Хэсэгчилсэн нэр томъёо нь анхны тэгшитгэлээс бага коэффициенттэй байх болно.

• Тэгшитгэлээ хамгийн том нийтлэг хүчин зүйлээр нь шалгая. 3. Үүнийг хийхийн тулд гишүүн бүрийг 3 -т хуваах болно.

  • 9х²/3 = 3х²
  • 27x/3 = 9x
  • -3/3 = -1
  • Тиймээс бидний шинэ илэрхийлэл бол 3х² + 9х - 1.

Алхам 3. Үлдсэн нэр томъёогоор үржүүлсэн хамгийн том нийтлэг хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн гэж өөрийнхөө илэрхийлэлийг бичээрэй

Таны шинэ илэрхийлэл таны анхны илэрхийлэлтэй дүйцэхгүй тул илэрхийллийг хялбаршуулсан гэж хэлэх нь буруу юм. Бидний шинэ илэрхийлэлийг анхныхтайгаа тэнцүү болгохын тулд бидний илэрхийлэлийг хамгийн том нийтлэг хүчин зүйлээр хуваасан баримтыг оруулах ёстой. Шинэ илэрхийлэлээ хаалтанд оруулаад анхны тэгшитгэлийн хамгийн том нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтанд илэрхийлэх коэффициент болгон бичнэ үү.

Бидний жишээ тэгшитгэлийн хувьд 3x² + 9x - 1, бид илэрхийллийг хаалтанд авч, анхны тэгшитгэлийн хамгийн том нийтлэг хүчин зүйлээр үржүүлж болно. 3 (3x² + 9x - 1). Энэ тэгшитгэл нь анхны тэгшитгэл болох 9х -тэй тэнцүү юм² +27x - 3.

Алхам 4. Бутархайг хялбарчлахын тулд факторинг ашиглана уу

Хамгийн том нийтлэг хүчин зүйлийг устгасны дараа ч гэсэн шинэ илэрхийлэлийг энэ хүчин зүйлээр дахин үржүүлэх шаардлагатай болсон ч гэсэн факторинг яагаад ашиглагддагийг та одоо гайхаж байж магадгүй юм. Үнэндээ факторинг нь математикчдад илэрхийлэлийг хялбарчлахын тулд янз бүрийн заль мэх хийх боломжийг олгодог. Түүний хамгийн хялбар заль мэхүүдийн нэг нь бутархай, хуваагчийг ижил тоогоор үржүүлэх нь эквивалент бутархайг бий болгодог давуу талыг ашигладаг. Дараахыг үзнэ үү.

• Бидний анхны жишээ илэрхийлэл болох 9х гэж хэлээрэй² + 27x - 3 бол 3 -ыг тоогоор илэрхийлсэн том хэсгийн тоон үзүүлэлт юм. Бутархай нь иймэрхүү харагдах болно: (9x² + 27x - 3)/3. Бид фракцийг хялбарчлахын тулд факторинг ашиглаж болно.

  • Анхны илэрхийлэлийн факторинг хэлбэрийг тоологч дахь илэрхийллээр орлуулъя: (3 (3x² + 9x - 1))/3
  • Одоо тоологч ба хуваагч хоёулаа 3 гэсэн коэффициенттэй болохыг анхаарна уу.² + 9x - 1)/1.
  • 1 -ийн хуваагчтай аливаа бутархай нь тоологч дээрх нэр томъёотой тэнцүү тул бидний анхны бутархайг хялбарчлах боломжтой гэж хэлж болно. 3х² + 9х - 1.

3 -ийн 3 -р арга: Нэмэлт хялбарчлах ур чадварыг ашиглах

Алхам 1. Ижил хүчин зүйлүүдэд хуваах замаар бутархайг хялбарчлах

Дээр дурдсанчлан хэрэв тэгшитгэлийн тоологч ба хуваагч нь ижил хүчин зүйлтэй бол эдгээр хүчин зүйлийг бутархай хэсэгт бүрэн орхиж болно. Заримдаа энэ нь тоологч, хуваагч эсвэл хоёуланд нь факторинг хийх шаардлагатай болдог (дээрх жишээний жишээнд байгаа шиг), гэхдээ заримдаа ижил хүчин зүйлүүд ихэвчлэн илэрхий байдаг. Энгийн илэрхийлэл авахын тулд тоологчийн нэр томъёог хуваарилагч дахь тэгшитгэлээр нэг нэгээр нь хуваах боломжтойг анхаарна уу.

• Факторинг хийх шаардлагагүй жишээн дээр ажиллацгаая. Бутархай хэсгүүдийн хувьд (5х² + 10x + 20)/10, коэффициент 5x -д 5 байсан ч гэсэн хялбарчлахын тулд тоолуур дахь нэр томъёо бүрийг 10 -д хувааж болно.² 10 -аас ихгүй тул 10 нь хүчин зүйл биш юм.

  Хэрэв ингэвэл бид авах болно ((5x²)/10) + x + 2. Хэрэв бид хүсвэл эхний үгийг (1/2) x гэж дахин бичиж болно² Тиймээс бид (1/2) x авна² +x+2.

Алхам 2. Үндэсийг хялбарчлахын тулд квадрат хүчин зүйлийг ашиглана уу

Үндэс тэмдгийн доорх илэрхийлэлийг root илэрхийлэл гэж нэрлэдэг. Энэ илэрхийллийг квадрат хүчин зүйлсийг (бүхэл тоонуудын квадратууд болох хүчин зүйлүүд) тодорхойлж, квадрат язгуурын үйлдлийг тусад нь хийж квадрат язгуур тэмдгийн доороос арилгах замаар хялбарчилж болно.

• Энгийн жишээ хэлье - (90). Хэрэв бид 90 -ийг 9 ба 10 гэсэн хоёр хүчин зүйлийн үржвэр гэж үзвэл 3 -ын бүхэл тоо болох 9 -ийн квадрат язгуурыг аваад радикал тэмдгээс хасаж болно. Өөрөөр хэлбэл:

  • √(90)
  • √(9 × 10)
  • (√(9) × √(10))
  • 3 × √(10)
  • 3√(10)

Алхам 3. Хоёр үзүүлэлтийг үржүүлэхдээ экспонент нэмэх; хуваахдаа хасах

Алгебрийн зарим илэрхийлэлд хүчний нэр томъёог үржүүлэх, хуваах шаардлагатай байдаг. Экспонент бүрийг гараар тооцоолох, хуваахын оронд үржүүлэхдээ экспонентуудыг нэмж, хуваахдаа хасах нь цаг хэмнэх болно. Энэхүү ойлголтыг хувьсах илэрхийллийг хялбарчлахад ашиглаж болно.

• Жишээлбэл, 6x илэрхийллийг ашиглая³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵). Экспонентыг үржүүлэх, хуваах шаардлагатай тохиолдолд бид энгийн нэр томъёог хурдан олохын тулд экспонентуудыг хасах буюу нэмэх болно. Дараахыг үзнэ үү.

  • 6х³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵)
  • (6 × 8) x^{3 + 4} + (x^{17 - 15})
  • 48x⁷ +x²

• Энэ нь хэрхэн ажилладаг талаар тайлбарыг доороос үзнэ үү.

  • Нэр томъёог экспонентаар үржүүлэх нь үнэндээ урт хугацааны хувьд биш нэр томъёог үржүүлэхтэй адил юм. Жишээлбэл, учир нь x³ = x × x × x ба x ⁵ = x × x × x × x × x, x³ × x⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), эсвэл x⁸.
  • Бараг адилхан, экспонент хуваах нь урт хугацааны экспонент биш харин нэр томъёог хуваахтай адил юм. x⁵/x³ = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Хуваарилагч дахь нэр томъёо бүрийг ижил нэр томъёог олох замаар таслах боломжтой тул тоонд зөвхөн хоёр x үлдсэн бөгөөд доод талд юу ч үлдээгүй бөгөөд үүнд x гэсэн хариулт өгчээ.².

Зөвлөмж

• Эдгээр тоонуудыг эерэг ба сөрөг шинж тэмдэгтэй гэж төсөөлөх ёстой гэдгийг үргэлж санаарай. Олон хүмүүс би энд ямар тэмдэг тавих ёстой вэ гэж бодохоо больж байна.
• Хэрэв танд хэрэгтэй бол тусламж хүсээрэй!
• Алгебрийн илэрхийлэлийг хялбарчлах нь тийм ч хялбар биш боловч үүнийг ойлгосныхоо дараа та үүнийг насан туршдаа ашиглах болно.

Анхааруулга

• Үргэлж ижил төстэй овог аймгуудыг хайж, цол хэргэмд хууртах хэрэггүй.
• Санамсаргүй байж болохгүй тоо, эрх мэдэл, үйлдлийг бүү нэмээрэй.