Куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 3 арга

2024 Зохиолч: Jason Gerald | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2024-01-16 19:45

Та куб тэгшитгэлийг анх олохдоо (энэ нь ax хэлбэртэй байна) ³ + bx ² + cx + d = 0), магадгүй асуудлыг шийдэхэд хэцүү байх болно гэж та бодож магадгүй. Гэхдээ куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь олон зууны туршид байсаар ирсэн гэдгийг мэдэж аваарай! 1500 -аад онд Италийн математикч Никколо Тарталья, Героламо Кардано нарын нээсэн энэхүү шийдэл нь эртний Грек, Ромд мэдэгдэж байсан анхны томъёоны нэг юм. Куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь жаахан хэцүү байж болох ч зөв арга барилаар (мөн хангалттай мэдлэгтэй) хамгийн хэцүү куб тэгшитгэлийг ч шийдэх боломжтой.

Алхам

3 -ийн 1 -р арга: Квадрат тэгшитгэлийг ашиглан шийдвэрлэх

Алхам 1. Таны куб тэгшитгэл тогтмол байгаа эсэхийг шалгаарай

Дээр дурдсанчлан куб тэгшитгэлийн хэлбэр нь сүх юм ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c, d -ийн утга нь энэ куб тэгшитгэлийн хэлбэрт нөлөөлөхгүйгээр 0 байж болно; Энэ нь үндсэндээ куб тэгшитгэл нь bx -ийн утгыг оруулах шаардлагагүй гэсэн үг юм ², cx, эсвэл d нь куб тэгшитгэл болно. Куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэх энэ хялбар аргыг ашиглаж эхлэхийн тулд таны куб тэгшитгэл тогтмол (эсвэл d утгатай) байгаа эсэхийг шалгаарай. Хэрэв таны тэгшитгэлд d тогтмол эсвэл утга байхгүй бол квадрат тэгшитгэлийг ашиглан хэдхэн алхам хийсний дараа куб тэгшитгэлийн хариултыг олох боломжтой.

Нөгөө талаас, хэрэв таны тэгшитгэл тогтмол утгатай бол танд өөр шийдэл хэрэгтэй болно. Бусад аргуудын талаар доорх алхамуудыг үзнэ үү

Алхам 2. Кубын тэгшитгэлээс x утгыг задална

Таны тэгшитгэл тогтмол утгагүй тул бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд x хувьсагч байна. Энэ нь x -ийн энэ утгыг хялбарчлахын тулд тэгшитгэлээс гаргаж авч болно гэсэн үг юм. Энэ алхамыг хийж, куб тэгшитгэлээ x (ax) хэлбэрээр дахин бичнэ үү ² + bx + c).

Жишээлбэл, энд анхны куб тэгшитгэлийг 3 x гэж үзье ³ + -2 x ² + 14 x = 0. Энэ тэгшитгэлээс нэг x хувьсагчийг задалснаар бид тэгшитгэлийг олж авна x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

Алхам 3. Квадрат тэгшитгэлийг ашиглан тэгшитгэлийг хаалтанд бич

Хаалтанд оруулсан зарим шинэ тэгшитгэлүүд чинь квадрат тэгшитгэл (сүх) хэлбэртэй байгааг та анзаарч магадгүй юм. ² + bx + c). Энэ нь a, b, c-ийг квадрат тэгшитгэлийн томъёогоор ({- b +/- √ (b ²- 4 ac)}/2 a). Кубын тэгшитгэлдээ хоёр хариулт олохын тулд эдгээр тооцооллыг хий.

• Бидний жишээн дээр a, b, c (3, -2, 14 тус тус) утгуудыг квадрат тэгшитгэлд дараах байдлаар залгаарай.

  {- b +/- √ (b ²- 4 цаг)}/2 а

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• Хариулт 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12.8 i}/6

• Хариулт 2:

  {2 - 12.8 i}/6

Алхам 4. Тэг болон квадрат тэгшитгэлдээ өгсөн хариултаа куб тэгшитгэлийнхээ хариулт болгон ашигла

Квадрат тэгшитгэл нь хоёр хариулттай байх бол куб тэгшитгэл нь гурван хариулттай байх болно. Та гурван хариултаас хоёр хариултыг аль хэдийн мэддэг болсон; тэгшитгэлийн "дөрвөлжин" хэсгээс хаалтанд авах боломжтой. Хэрэв таны куб тэгшитгэлийг "факторчилох" замаар шийдэж чадвал таны гурав дахь хариулт бараг үргэлж байдаг 0. Аюулгүй! Та дөнгөж куб тэгшитгэлийг шийдсэн.

Энэ аргыг ажиллуулах болсон шалтгаан нь "аливаа тоог тэгээр үржүүлэх нь тэгтэй тэнцүү" гэсэн үндсэн баримт юм. Та тэгшитгэлээ x (ax) хэлбэрт оруулна уу ² + bx + c) = 0, та үүнийг үндсэндээ хоёр "хэсэгт" хуваадаг; нэг хэсэг нь зүүн талын x хувьсагч, нөгөө хэсэг нь хаалтанд байгаа квадрат тэгшитгэл юм. Хэрэв эдгээр хоёр хэсгийн аль нэг нь тэг бол бүх тэгшитгэл мөн тэг болно. Ийнхүү квадрат тэгшитгэлийг хаалтанд оруулах хоёр хариулт нь тэг болгож, куб тэгшитгэлийн хариултууд болох 0 нь өөрөө зүүн тал дахь хэсгийг тэг болгох болно.

3 -ийн 2 -р арга: Хүчин зүйлийн жагсаалтыг ашиглан бүхэл тоон хариултыг олох

Алхам 1. Таны куб тэгшитгэл тогтмол утгатай байгаа эсэхийг шалгаарай

Дээр тайлбарласан аргуудыг ашиглахад нэлээд хялбар боловч та тэдгээрийг тооцоолох шинэ техникийг сурах шаардлагагүй тул куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд үргэлж тус болохгүй. Хэрэв таны куб тэгшитгэл нь ax хэлбэртэй байвал ³ + bx ² + cx + d = 0, хэрэв d -ийн утга нь тэгтэй тэнцүү биш бол дээрх "хүчин зүйлчлэх" арга нь ажиллахгүй байгаа тул та үүнийг шийдэхийн тулд энэ хэсгийн аль нэг аргыг ашиглах хэрэгтэй болно.

Жишээлбэл, бидэнд 2 x тэгшитгэл байна гэж бодъё ³ + 9 х ² + 13 x = -6. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн баруун талд тэг авахын тулд бид хоёр талдаа 6 нэмэх ёстой. Үүний дараа бид 2 x гэсэн шинэ тэгшитгэл авах болно ³ + 9 х ² + 13 x + 6 = 0, d = 6 гэсэн утгатай тул бид өмнөх аргын адилаар "задлах" аргыг ашиглах боломжгүй.

Алхам 2. a ба d -ийн хүчин зүйлсийг ол

Кубын тэгшитгэлээ шийдэхийн тулд эхлээд a -ийн хүчин зүйлийг (x коэффициентийг) олоорой ³) ба d (тэгшитгэлийн төгсгөл дэх тогтмол утга). Хүчин зүйл бол тодорхой тоог гаргахын тулд бие биенээ үржүүлж болох тоо гэдгийг санаарай. Жишээлбэл, 6 × 1 ба 2 × 3 -ийг үржүүлснээр 6 авах боломжтой тул 1, 2, 3, 6 нь 6 -ийн хүчин зүйл болно.

• Бидний ашиглаж буй жишээ асуудалд a = 2 ба d = 6 байна. 2 -ийн хүчин зүйл 1 ба 2. 6 -ийн хүчин зүйл бол 1, 2, 3, 6.

  

  Алхам 3. a хүчин зүйлийг d коэффициентэд хуваана

  Дараа нь a -ийн хүчин зүйл тус бүрийг d -ийн хүчин зүйл бүрт хувааж олж авсан утгуудаа жагсаана уу. Энэ тооцоо нь ихэвчлэн олон тооны бутархай утгууд болон хэд хэдэн бүхэл тоонуудыг гаргадаг. Таны куб тэгшитгэлийг шийдэх бүхэл тоо нь тооцооллоос олж авсан бүхэл тоонуудын нэг юм.

  Манай тэгшитгэлд a (1, 2) -ийн хүчин зүйлийн утгыг d (1, 2, 3, 6) коэффициентэд хувааж дараах үр дүнг авна уу: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2, мөн 2/3. Дараа нь сөрөг утгыг жагсаалтад нэмээд бид дараахь зүйлийг авна. 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3, -2/3. Бүхэл тоо болох куб тэгшитгэлийн хариулт жагсаалтад байна.

  

  Алхам 4. Синтетик хуваагдлыг ашиглан гараар хариултаа шалгаарай

  Дээрхтэй адил утгын жагсаалт гарсны дараа та бүхэл тоо болгоныг гараар оруулснаар куб тэгшитгэлийн хариулт болох бүхэл тоон утгыг хайж, тэг нь ямар утгатай болохыг олж мэдэх боломжтой. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та үүнийг хийхэд цаг зарцуулахыг хүсэхгүй байгаа бол үүнийг илүү хурдан хийх нэг арга бий, тухайлбал синтетик хуваалт гэж нэрлэдэг. Үндсэндээ та бүхэл тоон утгыг куб тэгшитгэл дэх a, b, c, d гэсэн анхны коэффициентүүдэд хуваах болно. Хэрэв үлдсэн хэсэг нь тэг бол энэ утга нь таны куб тэгшитгэлийн хариултуудын нэг болно.

  • Синтетик хуваагдал нь нарийн төвөгтэй сэдэв юм. Дэлгэрэнгүй мэдээллийг доорх линкээс үзнэ үү. Синтетик хуваагдал бүхий куб тэгшитгэлийнхээ хариултуудын нэгийг хэрхэн олох жишээг энд харуулав.

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    Бид эцсийн үр дүнг 0 -тэй тэнцүү авдаг тул манай куб тэгшитгэлийн бүхэл тоон хариултуудын нэг нь гэдгийг бид мэднэ - 1.

  3 -ийн 3 -р арга: Ялгаварлан гадуурхах аргыг ашиглах

  

  Алхам 1. a, b, c, d тэгшитгэлийг бич

  Куб тэгшитгэлийн хариултыг ингэж олохын тулд бид тэгшитгэлдээ байгаа коэффициентүүдээр маш олон тооцоо хийх болно. Ийм учраас ямар нэгэн утгыг мартахаасаа өмнө a, b, c, d -ийн утгыг тэмдэглэх нь зүйтэй.

  Жишээлбэл, x тэгшитгэлийн хувьд ³ - 3 x ² + 3 x -1, үүнийг a = 1, b = -3, c = 3, d = -1 гэж бичээрэй. X хувьсах коэффициент байхгүй үед түүний утга 1 болно гэдгийг бүү мартаарай.

  

  Алхам 2. 0 = b -ийг тооцоолно уу ² - 3 ширхэг агааржуулагч.

  Куб тэгшитгэлийн хариултыг олох ялгаварлан гадуурхах хандлага нь нарийн төвөгтэй тооцоолол шаарддаг боловч хэрэв та алхамуудыг анхааралтай дагаж мөрдвөл бусад аргаар шийдвэрлэхэд хэцүү куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд маш их хэрэгтэй болно. Эхлэхийн тулд тохирох утгыг томъёо руу залгаж, бидэнд хэрэгтэй байгаа хэд хэдэн чухал ач холбогдолтой 0 утгыг олоорой. ² - 3 ширхэг агааржуулагч.

  • Бидний ашиглаж буй жишээн дээр бид үүнийг дараах байдлаар шийдвэрлэх болно.

    б ² - 3 ак

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  Алхам 3. 1 = 2 тооцоолно уу b ³ - 9 abc + 27 a ² d.

  Дараагийн чухал ач холбогдолтой утга болох 1 нь илүү урт тооцоолол шаарддаг боловч 0 -тэй ижил аргаар олж болно. Тохирох утгыг томъёо руу оруулна уу 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d 1 -ийн утгыг авах.

  • Энэ жишээнд бид үүнийг дараах байдлаар шийддэг.

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  Алхам 4. Тооцоолох = 1² - 4Δ0³) -27 а ².

  Дараа нь бид 0 ба 1 утгуудын "ялгаварлан гадуурхах" утгыг тооцоолно. Ялгаварлан гадуурхагч нь олон гишүүнтийн язгуурын талаар мэдээлэл өгдөг тоо юм (та квадрат ялгаварлан гадуурхах томъёог ухамсаргүйгээр цээжилсэн байж магадгүй: b ² - 4 агааржуулагч). Куб тэгшитгэлийн хувьд хэрэв ялгаварлан гадуурхагчийн утга эерэг байвал тэгшитгэл нь гурван бодит тооны хариулттай байна. Хэрэв ялгаварлан гадуурхах утга нь тэгтэй тэнцүү бол тэгшитгэл нь нэг эсвэл хоёр бодит тооны хариулттай бөгөөд зарим хариулт нь ижил утгатай байна. Хэрэв утга нь сөрөг байвал тэгшитгэл нь зөвхөн нэг тэнхлэгийн хариулттай байдаг, учир нь тэгшитгэлийн график нь x тэнхлэгийг ядаж нэг удаа огтлолцох болно.)

  • Энэ жишээнд 0 ба 1 = 0 хоёуланг нь хоёуланг нь олоход маш хялбар байдаг. Бид үүнийг дараах байдлаар тооцоолох хэрэгтэй.

    1² - 4Δ0³) -27 а ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 =, тэгэхээр бидний тэгшитгэл 1 эсвэл 2 хариулттай байна.

  

  Алхам 5. С = -ийг тооцоолно уу ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2).

  Бидний олж авах хамгийн чухал үнэ цэнэ бол C -ийн үнэ цэнэ юм. Энэ утга нь куб тэгшитгэлийн бүх гурван үндсийг авах боломжийг бидэнд олгодог. Томъёонд 1 ба 0 гэсэн утгыг оруулаад ердийн байдлаар шийдээрэй.

  • Энэ жишээнд бид C -ийн утгыг дараах байдлаар авах болно.

    ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = C

  

  Алхам 6. Хувьсагчтай тэгшитгэлийн гурван үндсийг тооцоол

  Таны куб тэгшитгэлийн үндэс (хариулт) -ийг томъёогоор тодорхойлно (b + u C + (Δ0/u C)) / 3 a, энд u = (-1 + (-3))/2 ба n нь 1, 2, 3-тэй тэнцүү байна. Үүнийг шийдвэрлэхийн тулд өөрийн утгыг томъёонд оруулна уу-танд хэд хэдэн тооцоолол хэрэгтэй байж магадгүй юм., гэхдээ та куб тэгшитгэлийнхээ гурван хариултыг авах ёстой!

  • Энэ жишээнд бид n нь 1, 2, 3 -тэй тэнцүү байх үеийн хариултуудыг шалгах замаар үүнийг шийдэж болох юм. Энэхүү тооцооллоос олж авсан хариулт нь куб куб тэгшитгэлд хариулах боломжтой хариулт юм. ижил үр дүн. 0 байвал зөв хариулт болно. Жишээлбэл, хэрэв бид тооцооллын туршилтуудын аль нэгэнд x -ийн тэгшитгэлд 1 утгыг оруулбал 1 -тэй тэнцүү хариулт авах болно. ³ - 3 x ² + 3 x - 1 нь эцсийн үр дүнг 0 -тэй тэнцүү болгоно. Тиймээс

    1-р алхам. нь манай куб тэгшитгэлийн хариултуудын нэг юм.