Деривативыг хамгийн их, хамгийн бага, оргил, тэвш, налуугийн утга гэх мэт ашигтай шинж чанаруудыг графикаас гаргаж авахад ашиглаж болно. Та үүнийг график тооцоолуургүйгээр нарийн төвөгтэй тэгшитгэлийг графиклахад ашиглаж болно! Харамсалтай нь, дериватив дээр ажиллах нь ихэвчлэн уйтгартай байдаг боловч энэ нийтлэл нь танд зарим зөвлөмж, заль мэхийг өгөх болно.
Алхам
Алхам 1. Үүссэн тэмдэглэгээг ойлгох
Дараахь хоёр тэмдэглэгээг хамгийн их ашигладаг боловч бусад олон зүйлийг энд Википедиа дээрээс олж болно.
- Лейбницын тэмдэглэгээ Энэ тэгшитгэл нь y ба x -ийг агуулсан тохиолдолд хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг тэмдэглэгээ юм. dy/dx гэдэг нь шууд утгаараа x -ийн y -ийн үүсмэл гэсэн үг юм. Үүнийг x/y -ийн маш өөр утгуудын хувьд y/Δx гэж бодох нь ашигтай байж болох юм. Энэхүү тайлбар нь дериватив хязгаарыг тодорхойлоход хүргэдэг: limh-> 0 (f (x+h) -f (x))/h. Энэ тэмдэглэгээг хоёр дахь деривативт ашиглахдаа та дараах зүйлийг бичих ёстой: d2y/dx2.
- Лагранжийн тэмдэглэгээ f функцийн деривативыг мөн f '(x) гэж бичнэ. Энэ тэмдэглэгээ нь f онцолсон x -ийг уншдаг. Энэ тэмдэглэгээ нь Лейбницын тэмдэглэгээнээс богино бөгөөд деривативыг функц гэж үзэхэд тустай. Илүү их хэмжээний дериватив үүсгэхийн тулд 'f -д нэмэхэд л хоёр дахь дериватив нь f' '(x) болно.
Алхам 2. Деривативын утга, бууж ирсэн шалтгааныг ойлгох
Нэгдүгээрт, шугаман графын налууг олохын тулд шугам дээрх хоёр цэгийг авч, тэдгээрийн координатыг тэгшитгэлд оруулна (y2 - y1)/(x2 - x1). Гэхдээ үүнийг зөвхөн шугаман графикт ашиглах боломжтой. Квадрат тэгшитгэл ба түүнээс дээш хувьд шугам нь муруй байх тул хоёр цэгийн ялгааг олох нь тийм ч зөв биш юм. Шүргэх график дахь шүргэгчийн налууг олохын тулд хоёр цэгийг авч ерөнхий тэгшитгэлд оруулаад муруйн графикийн налууг олоорой: [f (x + dx) - f (x)]/dx. Dx нь дельта x -ийг илэрхийлдэг бөгөөд энэ нь графикийн хоёр цэг дээрх хоёр х координатын ялгаа юм. Энэ тэгшитгэл нь (y2 - y1)/(x2 - x1), зөвхөн өөр хэлбэрээр. Үр дүн нь тодорхойгүй болохыг мэдэж байсан тул шууд бус аргыг ашигласан. (X, f (x)) шүргэгчийн налууг олохын тулд dx нь 0 -тэй ойролцоо байх ёстой бөгөөд ингэснээр зурсан хоёр цэг нэг цэг болж нийлнэ. Гэсэн хэдий ч та 0-ийг хувааж чадахгүй тул хоёр цэгийн утгыг оруулсны дараа тэгшитгэлийн доод талаас dx-ийг арилгахын тулд факторинг болон бусад аргыг ашиглах шаардлагатай болно. Үүнийг хийснийхээ дараа dx 0 болгоод дуусгачихлаа. Энэ нь (x, f (x)) дээрх тангенсийн налуу юм. Тэгшитгэлийн дериватив нь график дээрх тангенсуудын налууг олох ерөнхий тэгшитгэл юм. Энэ нь маш төвөгтэй мэт санагдаж болох боловч доорх хэдэн жишээ байгаа бөгөөд энэ нь уг деривативыг хэрхэн яаж авахыг тайлбарлахад туслах болно.
4 -ийн 1 -р арга: Ил тод деривативууд
Алхам 1. Таны тэгшитгэл аль хэдийн нэг талдаа y -тэй бол тодорхой дериватив ашиглана уу
Алхам 2. Тэгшитгэлийг [f (x + dx) - f (x)]/dx тэгшитгэлд оруулна уу
Жишээлбэл, тэгшитгэл нь y = x бол2, үүсмэл нь [(x + dx) болно2 - x2]/dx.
Алхам 3. [dx (2x + dx)]/dx тэгшитгэлийг үүсгэхийн тулд dx -ийг өргөтгөж хасна уу
Одоо та дээд ба доод хэсэгт хоёр dx дамжуулах боломжтой. Үр дүн нь 2x + dx бөгөөд dx тэг рүү ойртох тусам үүсмэл нь 2x болно. Энэ нь y = x графын дурын тангентын налуу гэсэн үг юм2 2х байна. Налууг олохыг хүссэн цэгийн x утгыг оруулна уу.
Алхам 4. Ижил төстэй тэгшитгэл гаргах загварыг сур
Энд хэдэн жишээ дурдъя.
- Аливаа экспонент нь 1 -ээс бага хэмжээнд хүртэл өссөн утгыг хэлнэ. Жишээлбэл, x -ийн дериватив5 5х байна4, мөн x -ийн дериватив3, 5 iis3, 5x2, 5. Хэрэв x -ийн өмнө аль хэдийн тоо байгаа бол түүнийг хүчээр үржүүлэхэд л хангалттай. Жишээлбэл, 3x -ийн дериватив4 12х байна3.
- Аливаа тогтмолуудын дериватив нь тэг юм. Тиймээс 8 -ийн дериватив нь 0 байна.
- Нийлбэрийн дериватив нь холбогдох деривативуудын нийлбэр юм. Жишээлбэл, x -ийн дериватив3 + 3х2 3х байна2 + 6х.
- Бүтээгдэхүүний дериватив нь эхний хүчин зүйлээс хоёрдахь хүчин зүйлээс хоёр дахь хүчин зүйлээс эхний хүчин зүйлээс хоёр дахин их хүчин зүйл юм. Жишээлбэл, x -ийн дериватив3(2x + 1) нь x юм3(2) + (2x + 1) 3x2, энэ нь 8x -тэй тэнцүү юм3 + 3х2.
- Бүлгийн дериватив (жишээ нь, f/g) нь [g (f -ийн дериватив) - f (g -ийн дериватив)]/g2. Жишээлбэл, (x2 + 2x - 21)/(x - 3) нь (x2 - 6x + 15)/(x - 3)2.
4 -ийн 2 -р арга: Далд деривативууд
Алхам 1. Таны тэгшитгэлийг аль нэг талд нь y -ээр бичих боломжгүй бол далд деривативуудыг ашиглана уу
Үнэн хэрэгтээ хэрэв та нэг талд y гэж бичсэн бол dy/dx -ийг тооцоолох нь уйтгартай байх болно. Энэ төрлийн тэгшитгэлийг хэрхэн яаж шийдэх жишээ энд байна.
Алхам 2. Энэ жишээнд x2y + 2y3 = 3x + 2y, y -ийг f (x) -ээр соль, ингэснээр y нь үнэндээ функц гэдгийг санах болно.
Тэгшитгэл нь x болно2f (x) + 2 [f (x)]3 = 3x + 2f (x).
Алхам 3. Энэ тэгшитгэлийн деривативыг олохын тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг x -тэй холбогдуулан гарга
Тэгшитгэл нь x болно2f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]2f '(x) = 3 + 2f' (x).
Алхам 4. f (x) -ийг y -ээр дахин солино
F (x) -ээс ялгаатай f '(x) -ийг орлуулахгүй байхыг анхаарна уу.
Алхам 5. f '(x) -ийг олоорой
Энэ жишээний хариулт нь (3 - 2xy)/(x2 + 6y2 - 2).
4 -ийн 3 -р арга: Дээд зэрэглэлийн деривативууд
Алхам 1. Дээд эрэмбийн функцийг олж авах нь та деривативыг гаргаж байгаа гэсэн үг юм (2 -р захиалгаар)
Жишээлбэл, хэрэв асуудал танаас гуравдахь дарааллыг гаргаж ирэхийг хүсч байвал деривативын деривативыг аваарай. Зарим тэгшитгэлийн хувьд дээд эрэмбийн дериватив нь 0 болно.
4 -ийн 4 -р арга: Гинжин хэлхээний дүрэм
Алхам 1. Хэрэв y нь z -ийн дифференциал функц, z нь x -ийн дифференциал функц бол y нь x -ийн нийлмэл функц бөгөөд x (dy/dx) -ийн у -ийн дериватив (dy/du)* (du/dx)
Гинжин хэлхээний дүрмийг мөн адил тэгшитгэлийн хослол байж болно: (2x4 - x)3. Деривативыг олохын тулд үүнийг үржүүлэх дүрэм шиг бодох хэрэгтэй. Тэгшитгэлийг хүчээр үржүүлж 1 -ээр бууруул. Дараа нь тэгшитгэлийг хүчийг нэмэгдүүлэх хаалт дахь тэгшитгэлийн деривативаар үржүүлнэ (энэ тохиолдолд 2x^4 - x). Энэ асуултын хариулт нь 3 (2x4 - x)2(8х3 - 1).
Зөвлөмж
- Шийдвэрлэхэд хэцүү асуудлыг харах болгондоо бүү санаа зов. Үржүүлэх, хуваах гэх мэт дүрмийг ашиглан аль болох жижиг хэсгүүдэд хуваахыг хичээ. Дараа нь хэсэг бүрийг доошлуул.
- Үржүүлэх дүрэм, хэмжигдэхүүн, гинжин хэлхээний дүрэм, ялангуяа далд деривативыг ашиглаарай, учир нь эдгээр дүрмүүд нь тооцоолоход илүү хэцүү байдаг.
- Тооцоологчоо сайн ойлгох; Тооцоологч дээрх өөр өөр функцийг ашиглан тэдгээрийг хэрхэн ашиглах талаар олж мэдээрэй. Тангенс болон үүсмэл функц байгаа бол тооцоолууртаа хэрхэн ашиглах талаар мэдэх нь маш ашигтай байдаг.
- Тригонометрийн үндсэн деривативууд болон тэдгээрийг хэрхэн ашиглах талаар санаарай.
