Тооцоонд y гэсэн тэгшитгэлийг x хэлбэрээр бичвэл (жишээ нь y = x2 -3x), деривативыг олохын тулд гарал үүслийн үндсэн техникийг (математикчид далд функцын дериватив техник гэж нэрлэдэг) ашиглахад хялбар байдаг. Гэсэн хэдий ч тэгшитгэлийн хувьд тэгш өнцөгтийн нэг талд зөвхөн y гишүүнийг байрлуулахад хэцүү байдаг2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19), өөр арга барил хэрэгтэй. Нууцлаг функцын дериватив гэж нэрлэгддэг техникээр олон функциональ тэгшитгэлийн деривативыг олоход хялбар байдаг.
Алхам
2 -ийн 1 -р арга: Энгийн тэгшитгэлийг хурдан гаргах
Алхам 1. Ердийнх шиг x нэр томъёог гарга
X гэх мэт олон хувьсагчтай тэгшитгэлийг гаргахыг оролдохдоо2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19, хаанаас эхлэхээ мэдэх нь хэцүү байж магадгүй юм. Аз болоход далд функцийн деривативын эхний алхам бол хамгийн хялбар арга юм. Эхлэх энгийн (тодорхой) деривативын дүрмийн дагуу тэгшитгэлийн хоёр талд байгаа x-нэр томъёо ба тогтмолуудыг гаргаж аваарай. Одоогийн байдлаар y нэр томъёог үл тоомсорлоорой.
-
Дээрх энгийн тэгшитгэлийн жишээг гаргахыг хичээе. x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19 нь x: x гэсэн хоёр нэр томъёотой2 ба -5х. Хэрэв бид тэгшитгэл гаргахыг хүсч байвал эхлээд үүнийг дараах байдлаар хийх ёстой.
-
-
x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19
- (X in 2 -ийн хүчийг авчирна уу2 коэффициентийн хувьд x -5x -ийг хасаад 19 -ийг 0 болгож өөрчлөх)
- 2x + y2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0
-
-
Алхам 2. y нэр томъёог гаргаж, гишүүн бүрийн хажууд (dy/dx) нэмнэ
Дараагийн алхамдаа x нэр томъёог гаргаж авсантай адил y нэр томъёог гаргаж аваарай. Гэхдээ энэ удаад коэффициент нэмэхийн тулд нэр томъёо бүрийн хажууд (dy/dx) нэмнэ. Жишээлбэл, хэрэв та y -ийг бууруулбал2, дараа нь дериватив нь 2y (dy/dx) болно. Одоогоор x ба y гэсэн нэр томъёог үл тоомсорлоорой.
-
Бидний жишээн дээр бидний тэгшитгэл иймэрхүү харагдаж байна: 2x + y2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0. Бид y -ийг гаргаж авах дараагийн алхамыг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ.
-
-
2x + y2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0
- (Y -д 2 -ийн хүчийг авчир2 коэффициент болгон y -ийг 8y -д хасаад, гишүүн бүрийн хажууд dy/dx -ийг тавь).
- 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy2= 0
-
-
Алхам 3. Бүтээгдэхүүний дүрмийг эсвэл x ба y гэсэн нэр томъёоны хувьд коэффициентийн дүрмийг ашиглана уу
X ба y гэсэн нэр томъёог ашиглах нь нэлээд төвөгтэй боловч хэрэв та бүтээгдэхүүний дүрэм, деривативын коэффициентийг мэддэг бол үүнийг хялбархан олох болно. Хэрэв x ба y гэсэн нэр томъёог үржүүлсэн бол бүтээгдэхүүний дүрмийг ашиглана уу ((f × g) '= f' × g + g × f '), x нэр томъёог f, y нэр томъёог g гэж орлуулна. Нөгөө талаас, хэрэв x ба y гэсэн нэр томъёо нь бие биенээ үгүйсгэж байвал ((f/g) '= (g × f' - g '× f)/g2), тоологчийг f гэж орлуулан, g -ийн хуваарийг орлуулна.
-
Бидний жишээн дээр 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy2 = 0, бидэнд x ба y - 2xy гэсэн ганцхан нэр томъёо бий2. X ба y -ийг бие биенээрээ үржүүлдэг тул бүтээгдэхүүний дүрмийг дараах байдлаар гаргаж авна.
-
- 2кси2 = (2x) (y2)- 2x = f ба y-ийг тохируулна уу2 = g in (f × g) '= f' × g + g × f '
- (f × g) '= (2x)' × (y2) + (2x) × (y2)'
- (f × g) '= (2) × (y2) + (2x) × (2y (dy/dx))
- (f × g) '= 2y2 + 4xy (dy/dx)
-
- Үүнийг үндсэн тэгшитгэл дээрээ нэмээд бид олж авна 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y2 + 4xy (dy/dx) = 0
Алхам 4. Ганцаараа (dy/dx)
Та бараг дууслаа! Одоо таны хийх ёстой зүйл бол (dy/dx) тэгшитгэлийг шийдэх явдал юм. Энэ нь хэцүү мэт санагддаг, гэхдээ энэ нь ихэвчлэн тийм биш байдаг - a ба b гэсэн хоёр нэр томъёог (dy/dx) үржүүлгийн хуваарилах шинж чанараас шалтгаалан (a + b) (dy/dx) гэж бичиж болно гэдгийг санаарай. Энэхүү тактик нь тусгаарлах (dy/dx) ажлыг хөнгөвчлөх боломжтой - бусад бүх нэр томъёог хаалтны нөгөө талд зөөж, дараа нь (dy/dx) хажууд байгаа нэр томъёогоор хуваана.
-
Бидний жишээн дээр бид 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y хялбаршуулсан болно.2 + 4xy (dy/dx) = 0 дараах байдлаар:
-
- 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y2 + 4xy (dy/dx) = 0
- (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) + 2x - 5 + 2y2 = 0
- (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) = -2y2 - 2х + 5
- (dy/dx) = (-2y2 - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)
- (dy/dx) = (-2y2 - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)
-
2 -ийн 2 -р арга: Дэвшилтэт техник ашиглах
Алхам 1. Аливаа цэгт (dy/dx) олохын тулд (x, y) утгыг оруулна уу
Аюулгүй! Та өөрийн тэгшитгэлийг аль хэдийн далд байдлаар олж авсан бөгөөд эхний оролдлогод тийм ч хялбар ажил биш юм! Энэ тэгшитгэлийг ашиглан (x, y) дурын цэгийн градиентийг (dy/dx) олох нь тэгшитгэлийн баруун талд x ба y утгуудыг залгаж, (dy/dx) олохтой адил хялбар юм..
-
Жишээлбэл, бид дээрх жишиг тэгшитгэлийн (3, -4) цэг дээрх градиентийг олохыг хүсч байна гэж бодъё. Үүнийг хийхийн тулд бид x -ийн оронд 3 -ийг орлуулж, y -ийг дараах байдлаар шийднэ.
-
- (dy/dx) = (-2y2 - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)
- (dy/dx) = (-2 (-4)2 - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)
- (dy/dx) = (-2 (16)-6 + 5)/(2 (2 (3) (-4))
- (dy/dx) = (-32)-6 + 5)/(2 (2 (-12))
- (dy/dx) = (-33)/(2 (2 (-12))
- (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48, эсвэл 0, 6875.
-
Алхам 2. Функц дотор функцүүдийн хувьд гинжин дүрмийг ашиглана уу
Гинжин хэлхээний дүрэм нь тооцооллын бодлогууд дээр ажиллах ёстой мэдлэгийн чухал хэсэг юм. F (x) функцийн хувьд (f o g) (x), F (x) -ийн дериватив нь тэнцүү байна f '(g (x)) g' (x). Хэцүү далд функцийн дериватив асуудлын хувьд энэ нь тэгшитгэлийн янз бүрийн хэсгүүдийг гаргаж, үр дүнг нэгтгэх боломжтой гэсэн үг юм.
-
Энгийн жишээ болгон бид нүглийн деривативыг олох ёстой гэж бодъё (3х32 + x) sin (3х3) тэгшитгэлийн том далд функцийн үүсмэл бодлогын нэг хэсэг болно2 + x) + y3 = 0. Хэрэв бид нүглийг төсөөлөх юм бол (3x2 + x) f (x) ба 3x хэлбэрээр2 + x -ийг g (x) гэж үзвэл бид деривативыг дараах байдлаар олж болно.
-
- f '(g (x)) g' (x)
- (нүгэл (3х2 + x)) '× (3x2 +x) '
- cos (3x2 + x) × (6x + 1)
- (6x + 1) cos (3x2 +x)
-
Алхам 3. x, y, z хувьсагчтай тэгшитгэлийн хувьд (dz/dx) ба (dz/dy) олоорой
Хэдийгээр үндсэн тооцоололд ер бусын боловч зарим дэвшилтэт програмууд нь хоёроос илүү хувьсагчийн далд функцуудыг гаргаж авахыг шаарддаг. Нэмэлт хувьсагч бүрийн хувьд та x -ийн талаархи нэмэлт деривативыг олох ёстой. Жишээлбэл, хэрэв танд x, y, z байгаа бол (dz/dy) болон (dz/dx) хоёуланг нь хайх хэрэгтэй. Бид үүнийг x -тэй тэнцүү тэгшитгэлийг хоёр удаа гаргаснаар хийж болно. Эхлээд бид z агуулсан нэр томъёог гаргаж ирэх болгондоо (dz/dx) гэж оруулна, хоёрдугаарт, гаргаж авах бүртээ (dz/dy) оруулна. z. Үүний дараа (dz/dx) ба (dz/dy) шийдэх л үлдлээ.
- Жишээлбэл, бид x -ийг гаргаж авахыг оролдож байна гэж бодъё3z2 - 5кси5z = x2 + y3.
-
Нэгдүгээрт, x -ийн эсрэг үүсгээд (dz/dx) оруулъя. Шаардлагатай бол бүтээгдэхүүний дүрмийг ашиглахаа бүү мартаарай!
-
- x3z2 - 5кси5z = x2 + y3
- 3х2z2 + 2х3z (dz/dx) - 5 жил5z - 5xy5(dz/dx) = 2x
- 3х2z2 + (2x3z - 5xy5) (dz/dx) - 5 жил5z = 2x
- (2х3z - 5xy5) (dz/dx) = 2x - 3x2z2 + 5 жил5z
- (dz/dx) = (2x - 3x2z2 + 5 жил5z)/(2х3z - 5xy5)
-
-
Одоо (dz/dy) дээр мөн адил хий.
-
- x3z2 - 5кси5z = x2 + y3
- 2х3z (dz/dy) - 25xy4z - 5xy5(dz/dy) = 3y2
- (2х3z - 5xy5) (dz/dy) = 3y2 + 25x4z
- (dz/dy) = (3y2 + 25x4z)/(2х3z - 5xy5)
-
